一类无理不等式的证明

合肥师范学院数学与统计学院 (230061) 万家练 王 杰

解(证)无理不等式不易这是大家的共识.下面将利用一个简单的无理不等式来证明一类较难的无理不等式，这说明重现小命题，积累解题经验在解题中的重要.

应用举例

例1 若a,b,c>0，求证

故证明①，只需证

证明:由引理知，欲使②成立只需证

因 (a+1)(b+1)(c+1)=abc+a+b+c+ab+bc+ca+1=r+2p+1，(记abc=r，a+b+c=p，下同)

故③⟺3(r2+2p2-2rp-2p+1)≥pr+2p2+p

⟺4p2+3r2-2pr-2p+3≥0

⟺(2p-r)(p-3r)+(2p-1)(p-3)≥0.