用基本不等式求最值的破题五措施

甘肃省武威第十八中学 (733000) 高述文

在运用基本不等式求最值时，要注意使用“一正、二定、三相等”条件，而在寻找定值时，有时条件不够明显，常需要采用拆项、添项、变形、化简、换元等的技巧，这样化隐为显，使问题快速解决，本文通过举例分析、介绍几种常见的变换技巧，供参考．

1.适当拼凑：考察所给的表达式，看如何能通过进行适当的变形使之达到正确使用基本不等式的条件，完成解题目标．

评注：本题容易出现误判，即没有抓住x+s>0进行正确的配凑，而是把x+t当着变元，使解题造成混乱得出错解或使解题无法进行下去．

2.配方配项：在题设中如果在分式的分子或分母中含有类似于二式三项式的，可通过及时配成关于父母(或分子)的二式三项式，这样后面的解题方法就能够显露出来了．

评注：在理解题意的基础上，通过对分子配方(关于分母的平方)，构造出能使积为定值式子，这是找准了解题的切入点．

例4 若实数a、b满足ab-4a-b+1=0(a>1)，求(a+1)(b+2)的最小值．

评注：本题中没有直接告诉相关的分式，通过挖掘已知条件，对条件等式和欲求的式子进行重新整理，再合理配方，构造出可用均值不等式求解式子，化解了问题的难点．

3.及时相除：在一些分式求最值问题中，通过对分式的分子、分母同时除一个适当的式子，可以发现能使用基本不等式解题的契机．

评注：通过分子、分母同除以x，使分子为常数(必须是)，同时也能使此时分母的积为定值，这样就达到了使用基本不等式解题的条件了．

评注：通过对题目的深入研究，挖掘了其中隐含的关系，即一个乘积式的符合确定，再整体思考、整体变形配凑，使问题终于得到解决，这是科学有序的思维品质的体现．

4.连续放缩：在一些相对复杂的式子中，经过一次放缩可能达不到目的，可以再一次进行放缩变换，直到符合要求，这里必须注意连续放缩所需的相等条件是一致的．

评注：本题虽然用了基本不等式放缩两次，但由于等号成立的条件是一样的且缩小的方向一致，故而并不影响最小值的确定，如果等号成立的条件不一样或方向不一致，则得出的结果肯定是错误的，必须引起重视．

评注：本题中的字母较多，条件也不少，如何适当使用是解题关键，而本解法中分两次运用基本不等式求解，方法独到，简便合理．

5.灵活换元：抓住题设中的某些特殊结构进行类比联想，再通过换元对原式进行改造，可发现破题的机会，完成解题任务．

评注：若在题设中含有两个正项和为1(或某个特定的值)，可以选用三角换元，这样就可以利用三角函数的知识进行变形求解，达到解题目的．

评注：本题通过对所给的式子进行变形，然后对其中的特定结构进行换元处理，用新变量替换原来的变量，揭露了隐含的关系，为顺利解题创造了条件．

上面讲述了使用基本不等式求最值的五个破题措施，常见而实用，如果我们在教学中能够让学生掌握并领会了这些解题方法，那么学生在应试时遇到这些题目可能就信心满满了．