立足教材本源 设计递进问题 培养核心素养——以“电势差与电场强度的关系”为例

湖北 胡卫雄

(作者单位：湖北省武汉市常青第一中学)

2019年6月，国务院办公厅印发《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》(以下简称《意见》)。针对深化考试命题改革，《意见》指出：学业水平选择性考试与高等学校招生全国统一考试命题要以《普通高中课程标准》和高校人才选拔要求为依据，实施普通高中新课程的省份不再制定《考试大纲》。

“电势差与电场强度的关系”选自人教版新教材高中物理必修3第十章第三节。对比旧版教材(人教版高中物理选修3-1第一章第六节)，主要内容都是以匀强电场为例，通过电场力做功在两者之间建立起联系。通过分析和推理，导出电场强度与电势差之间的定量关系，进一步引导学生认识电势和电场强度的关系。在以往的高考《考试大纲》(物理)对“匀强电场中电势差与电场强度的关系”要求掌握程度为Ⅱ级，对应新课标用于高等院校招生录取的学业水平等级性考试中命题依据的学业质量水平4，要求能清晰、系统地理解电势差与电场强度的关系；能依托电场线、等势线构建典型电场模型，能从受力、运动、做功和能量转化的角度对以静电场为背景的综合性物理问题进行分析和推理，获得结论并作出解释。

在新高考背景下，从教材本源出发，依据新课程标准要求，对电势差与电场强度的关系进行提炼和升华，设计递进问题链，可以有效地突破考点障碍，提升关键能力，培养核心素养。

一、探本穷源，构建知识网络，系统了解电势、电势差和电场强度的关系

新教材以“电场线和等势线的疏密存在对应关系，推理电场强度和电势之间存在一定的联系”引入课题，新课标要求学生学会建立电场线、等势线等物理模型，知道匀强电场中电势差与电场强度的定量关系，了解非匀强电场中电势差与电场强度的定性关系，体会科学研究应该从不同角度展开，体会物理模型在研究具体问题中的重要作用。

从以上分析可以看出，本考点的本源是依托电场线、等势线，考查电势、电势差与电场强度在匀强电场和非匀强电场中定性和定量的关系，我们可以从以下三个问题逐级探本穷源。

【问题1】电势、电势差和电场强度之间有何关系？完成知识网络构建。

【设计意图】通过静电场中物理量之间关系的网络构建，促进学生系统了解电场力的性质和能的性质，特别是电势、电势差和电场强度之间相互关系，知道定量关系式中各物理量的意义，初步形成电场物质观念。

【问题2】关于静电场，下列结论普遍成立的是

( )

A.电场强度大的位置电势高，电场强度小的位置电势低

B.电场强度为零的位置电势也为零，电势为零的位置场强也必定为零

C.在静电场中，场强方向是电势降低最快的方向

D.沿电场线方向，任何相同距离上电势降落必定相等

【解析】如图1所示，观察点电荷、匀强电场的电场线特点可知，电势的高低与电场强度的大小无关，分析等量同种电荷的电场线可知，连线中点的电场强度为零，但电势不为零，分析等量异种点电荷的电场线可知，两电荷间连线中垂线是电势为零的等势面但电场强度不为零，所以AB选项错误，依据U=Ed=Elcosθ(d为任意两点沿电场方向的距离，l为任意两点间的距离)可知C选项正确，但此公式定量计算适用于匀强电场，场强变化时，D选项错误。

图1

【点拨】依托电场线，构建点电荷的电场、等量同种电荷电场、等量异种电荷电场、匀强电场等典型电场模型，对比分析各典型电场的电场强度和电势特点。

【设计意图】通过对典型电场的电场线和等势线进一步观察、分析，推导出电势与电场强度的关系；结合电势差与电场强度的关系式，对比匀强电场和非匀强电场，进一步构建典型电场模型，让学生体会从定性的角度了解电势与电场强度的关系。

【问题3】如图2所示，在甲、乙两电场中画出了三条电场线，AB长为20 cm，C点是A、B连线的中点。已知A点的电势为φA=30 V，B点的电势为φB=-20 V，则下列说法正确的是

甲

( )

A.在甲电场中，C点的电势φC=5 V

B.在甲电场中，C点的电场强度一定为250 N/C

C.在乙电场中，C点的电势φC<5 V

D.在乙电场中，C点的电场强度一定为250 N/C

【解析】根据匀强电场中电势差和电场强度的关系式U=Ed=Elcosθ，在甲图所示的匀强电场中，因为C是AB的中点，AC=CB，UAC=UCB，所以φA-φC=φC-φB，解得φC=5 V，因为AB并不沿电场线方向，电场强度大于250 N/C，A选项正确，B选项错误；在乙图所示的非匀强电场中，不能直接用关系式进行定量计算，D选项错误；定性分析可知，从电场线的分布情况可以看出，AC区域的电场强度大于CB区域的电场强度，所以UAC>UCB，φA-φC>φC-φB，所以有φC<5 V，C选项正确。

【点拨】匀强电场电势均匀降落，等间距的两点间电势差相等；非匀强电场场强大的位置等势面更密集，等间距的电势差大一些。

【设计意图】通过匀强电场和非匀强电场中相关问题的对比分析，体会从定量和定性方面了解电势差与电场强度的关系，进一步理解定量关系式的适用条件，掌握解决简单问题的判断方法。

二、拓展推理，总结规律，深入理解电势差与电场强度的关系

在各级各类考试试题中，常常出现对“匀强电场中电势差与电场强度关系”内容的考查，要求依据电场线与等势线的关系，运用电势差与电场强度的关系式，结合数学几何知识，在受力、运动、做功和能量分析的基础上，确定电场中某点的电势、计算匀强电场电场强度的大小、判断匀强电场的方向。这就须要更进一步地理解电势差与电场强度的关系，通过拓展推理，总结规律，对常见的静电场问题展开分析，总结结论。

在问题1的解析中已经指出，匀强电场中，由于电场强度是恒定不变，因此沿任意一条不垂直于电场线的直线，电势的变化是均匀的。在问题3解析中已经推理得到，如图3所示，如果AC=CB，则UAC=UCB，φA-φC=φC-φB，请分析问题4提出的延伸问题。

图3

【问题4】在图4中，如果AB=CD，且AB∥CD，UAB等于UCD吗？在图5中，AC∥PR，AB、BC、PQ、QR不等距，它们之间的电势差UAB、UBC、UPQ、UQR又有什么关系呢？

图4

图5

推论一 在匀强电场中，不与电场线垂直的同一直线上或相互平行相等线段上距离相等的两点间的电势差相等。

(2)如图4所示，AB∥CD，且AB=CD，则UAB=UCD。

【设计意图】立足教材本源，依据匀强电场中场强和电势变化的特点，对电势差与电场强度的关系作进一步的延伸推理，是匀强电场中电势差与电场强度关系的提炼和升华，促进形成科学的物质观念，发展学生科学思维素养，激发学生学习物理的兴趣和培养科学探究的精神。

【问题5】一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图6所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。则坐标原点处的电势为多少？电场强度的大小为多少？

图6

图7

【点拨】依据“两个推论”，通过“找两点(等势点)、画两线(等势线和电场线)、定距离(沿电场强度方向的距离)”，结合“一个公式(电势差和电场强度的关系式)”求解静电场中某点的电势和电场强度。

【设计意图】在深入理解匀强电场中电势差和电场强度关系的基础上，拓展推理，总结规律，结合数学几何知识进行综合分析。追求科学本质，培养理解能力、推理能力和应用数学知识解决物理问题的能力。

【问题6】空间有一匀强电场，在电场中建立如图8所示的直角坐标系O-xyz，匀强电场的方向平行于xOy平面，xOy平面内a、b、c三点的位置如图9所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。空间一点P(图中未画出)的坐标为(4，3，5)，则P点的电势为多少？

图8

图9

【解析】本题给出匀强电场处于立体空间情景中，因为电场方向平行于xOy平面，根据等势线和电场线垂直的关系，由立体几何知识推理可得，垂直于xOy平面的任一条直线都是等势线，先在平面找到P点的投影点，将立体空间情景转化为平面空间情景。如图9所示，P点在xOy平面的投影在Oc连线的中点e，结合问题4的分析结果，可得φc-φe=φe-φ0，φP=φe=13.5 V。

【点拨】注意电场是空间分布的，垂直于电场线的整个平面各点电势均相等。

【设计意图】在问题5的基础上，进一步培养用数学几何知识解决物理问题的能力，完善对匀强电场模型空间特点的认识，构建更完整、更清晰、更科学的电场模型。

三、科学建模，综合分析，熟练应用电势差与电场强度的关系解决较复杂的问题

一些以匀强电场为背景的问题需要从能量观念出发，综合运用功能关系，结合电势差与电场强度的定量关系分析、推理，此类问题综合性较强；而较为复杂的以匀强电场和重力场(磁场)组成的复合场为背景的力、电、磁综合问题，要求从受力、运动、做功和能量转化等多个角度展开综合分析，对学生物理观念，科学构建运动模型、电场模型，科学推理等核心素养和综合分析能力提出了更高的要求。

【问题7】匀强电场中的A、B、C三点构成一边长为a的等边三角形，如图10所示，场强方向平行于纸面。具有初速度的电子在电场力作用下从B到A动能减少E0，质子在电场力作用下从C到A动能增加E0，求匀强电场的场强。(不计重力)

图10

【解析】根据动能定理得，电子从B到A过程中

质子从C到A过程中

由①②可知B、C两点电势相等且大于A点电势，即

φB=φC>φA

图11

【点拨】本题在“找两点(等势点)、画两线(等势线和电场线)、定距离(沿电场强度方向的距离)”，结合“一个公式(电势差和电场强度的关系式)”的基础上，结合做功和能量转化(动能定理)，分析电场力做功与电势差之间的关系求解。

【设计意图】分析带电粒子在电场中的做功和能量转化，综合运用功能关系、静电力做功和电势差的关系、电势差与电场强度的关系分析，总结问题解决的方法，进一步形成能量观念，提高综合分析能力。

图12

在匀强电场中，电势的降落是均匀的。不与电场线垂直的同一条直线上两点间的电势差与两点间的距离成正比。设直线OB上的M点与A点等电势，M与O点的距离为x，如图13所示，则有

图13

MA为等势线，电场必与其垂线OC方向平行。设电场方向与竖直向下的方向夹角为α，由几何关系可得α=30°，即电场方向与竖直向下的方向的夹角为30°

【点拨】本题在例7的基础上，设置了复合场背景，在功能分析方面综合了重力做功和重力势能的变化，要求综合运用功能关系、电场力做功与电势差关系，再结合电势差与电场强度关系的两个推论求解。

【设计意图】试题以电场、重力场组成的复合场为背景设置了较为复杂的相关问题，考查学生对物理模型(重力场模型、电场模型、运动模型等)的科学构建及从受力、运动、做功和能量转化的角度对力电综合问题的综合分析能力，引导学生应用电势差与电场强度的关系解决问题。