常用数学思维在地理学习中的应用

陕西 解鹏辉

“调动和运用地理知识”是《普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明》(以下简称《考试说明》)关于地理学科的考核目标和要求之一，《考试说明》明确规定，除调动和运用所学地理知识、自主学习过程中获得的知识外，还要求学生能够选择和运用中学其他相关学科的基本技能解决地理问题，一些简单的数学运算和一些数学方法，常常能够使复杂问题简单化，从而达到快速解决地理问题的目的。

一、数学运算在解决地理问题中的应用

地理是一门生活化的科学，它与生活实践密切结合，地理问题即现实生活中的问题，因此这些问题的产生是多方面综合作用的结果。受不同因素的影响，影响的程度不同，就会出现不同的结果。

灵活运用数学中的基础运算，有助于理清各因素是否对某地理事物产生影响、影响的程度大小、影响结果的走向，有助于快速、准确的解决地理问题。

(一)运用加减法可解决的地理问题

数学中的加减法运用在地理事物受两个或两个以上因素影响，这些因素之间通过加减关系共同影响地理事物的最终结果，在这些因素的影响下，地理事物呈现增加(上升)或减少(下降)的发展趋势，最终结果取决于这些因素之间的加减关系。

具有加减关系的试题，应用范围广，不管是考查自然地理中的知识点还是人文地理中的知识点，都屡见不鲜。下面以2016年全国卷Ⅱ第9～11题为例进行说明。

【真题重现】某河流位于浙江东部，下游河床受径流与潮汐共同影响：枯水期，以潮流带来的泥沙淤积为主；汛期，上游下泄的径流冲刷河床。如图示意该河下游某地1962年两个时期河床断面形态，其中，甲是河床最低时期的断面。1964年在该河上游建成水库；2000年，在该河河口建成大型水闸。据此完成下题。

9.河床断面形态从甲至乙的变化过程发生在

( )

A.1—3月 B.3—6月

C.6—9月 D.9—12月

【地理基础知识】河床断面形态与泥沙的淤积和径流对河床的冲刷有关。潮流带来的泥沙淤积，河床变平、升高；下泄径流冲刷，河床降低、变窄。

【加减关系梳理】可简单归纳为①河床形态=泥沙淤积量-冲刷量；②值大于0，河床升高；小于0，河床降低。

【答案整理】结合材料“甲是河床最低时期的河床断面”，因此由甲到乙的过程其实就是由以冲刷为主的时期向以淤积为主的时期过渡。

结合材料“枯水期，以潮流带来的泥沙淤积为主……”可知，该河流位于浙江东部，汛期大约9月份结束，因此答案选择D选项。

(二)运用乘除法解决地理问题

乘除法中地理事物的最终结果也受两个或两个以上因素的影响，这些因素之间通过乘除关系共同影响地理事物的最终结果，在这些因素的影响下，地理事物呈现增加(上升)或减少(下降)的发展趋势。例如城市化水平的高低、人口抚养比的大小、正午太阳高度与影长的关系、遮阳棚的安装、比例尺的变化等，都可以运用此类方法。下面以2018年江苏卷第28题第(2)问为例进行说明。

【真题重现】阅读材料,回答下列问题。

材料一中国是世界第一大铁矿石进口国和第一大粗钢生产国,2015年粗钢产量约占全球产量的50%,但高端钢材生产不足。图1为“2015年世界铁矿石主要流向及流量略图。

图1

材料二有研究显示,一个国家或地区的人均粗钢需求增幅与人均GDP有一定的相关性2015年、2017年中国人均GDP分别为7 990美元和8 836美元。图2为“人均粗钢需求增幅与人均GDP”关系示意图。

图2

材料三产能利用率是指行业发挥生产能力的程度,是实际产量与设计产能的比率。一般认为,钢铁行业产能利用率处于78%～83%时较为合理,低于75%则为产能严重过剩。图3为“我国2010年～2015年粗钢产能和产能利用率统计图”。

图3

(2)推测我国未来粗钢需求量将出现的变化及其根本原因。

【乘除关系梳理】产能利用率=实际产量/设计产能

【答案整理】在2010到2015年期间，我国的粗钢产能(实际产能)不断上升。从图中来看，从2010到2012年产能利用率不断提高，说明随着我国经济的发展，对粗钢需求量不断变大；从2012到2015年产能利用率低，说明实际产量小于设计产能，虽然经济进一步发展，对粗钢的需求量大，但随着产业结构的调整、升级，粗钢供过于求，导致产能过剩。

本题答案为“先升后降；经济水平提高、产业升级转型”。

二、数学思想在解决地理问题中的应用

常用的数学思想有数形结合思想、方程与函数思想、建模思想、分类讨论思想和化归与转化思想等。这些数学思想方法主要来源于观察与实验、概括与抽象、类比，归纳和演绎等，因此，很多的数学思想对解决地理问题有着举足轻重的作用。

(一)数形结合思想在解决地理问题中的应用

数形结合作为一种数学思想方法，其应用大致可分为两种情形，借助于“数”的精确性来阐明“形”的某些属性；借助“形”的几何直观性来阐明“数”之间某种关系。

其在地理上的应用表现在以下方面，通过对不同时空、不同条件下观测、实验等方法收集到的数据作图，得出这些条件在不同时空、不同条件下对同一地理事物产生的影响，以及影响的大小，并通过图形的发展趋势，预测未来或者地理条件发生变化的情况下，地理事物的发展情况，为人们的生产、生活的一些决策提供依据。可以说，数形结合思想的灵活应用，是地理实践力的体现。

地理上最常用的就是把数字或者文字转化成图形，来揭示地理现象或地理规律。下面以2017年全国卷Ⅰ第37题(1)(2)小问具体说明。

【真题重现】阅读图文资料，完成下列要求。

山地垂直带内部的分异规律，日益为地理学研究所重视。在山地苔原带，植物多样性存在随海拔升高呈单峰变化的规律：在山地苔原带下部，少数植物种类通过种间竞争获得优势，植物多样性较低；随着海拔升高，环境压力变大，种间竞争减弱，植物多样性升高；在更高海拔区域，适宜生存的植物种类减少。地理科考队调查某山峰的苔原带(海拔2 000～2 600米)时发现，该苔原带部分地区存在干扰，导致优势植物数量减少，植物多样性异常；阴、阳坡降水量与坡度差别不大，但植物多样性差异显著(如图)。

(1)确定该苔原带遭受干扰的坡向和部位，以及干扰强度的垂直分布特征。

(2)判断在未遭受干扰时，阴坡与阳坡苔原带植物多样性的差异，并说明判断依据。

【数形结合】根据材料中“在山地苔原带……呈单峰变化的规律”，“在山地苔原带下部……多样性较低；随海拔升高，多样性升高；在更高海拔区域，适宜生存的植物种类减少”可知，不呈单峰变化的阳坡就是遭受干扰的坡向，阴坡植物多样性的最高点也是阳坡植物多样性的最高点，以该最高点为顶点，在2 000到2 300米之间做阴坡植物多样性的平行线(如下图)。

【答案整理】该线与图中虚线相比，从2 000米到2 300米，间距不断缩小，说明干扰强度在此海拔范围内随海拔升高而不断减小。两条单峰线相比，阴坡高阳坡低，说明未受干扰时，阴坡植物多样性高。

(1)遭受干扰的坡向和部位：阳坡，苔原带的下部(中下部，2 000～2 300米左右)。干扰强度分布特征：随海拔升高而降低(海拔越低，干扰越强烈)。

(2)(未遭受干扰时)阴坡较阳坡植物多样性高。依据：(按单峰变化规律)阳坡苔原带植物多样性最高值应在中部(2 300米左右)，低于阴坡最高值。

【思考】本题运用数形结合的思想，把文字转化成图形，使复杂的地理问题迎刃而解，同时也使学生意识到，人类活动对地理环境有一定程度的影响。

三、数学方法在解决地理问题中的应用

为了对地理事物有深刻的认识和深入的研究，应用、判读出自然地理环境和人文地理环境各事物之间的关系，这就需要借助于数学方法。数学方法多种多样，有逻辑学中的方法、如反证法，数学中的一般方法、如图像法，数学中的特殊方法、如公式法，这些方法在地理问题的解决上常能收到事半功倍的效果。

地理学习和解题中应用最广泛的数学方法是比较法。下面以比较法为例，谈谈比较法在地理分析中的应用。

比较法，就是根据一定的标准，把彼此有某种联系的事物加以对照，从而确定其相同与相异之点，便可以对事物作初步的分类。

在地理问题的研究中，比较法可以从多个角度，对两个或多个地理事物进行同一时间异同的比较、还可按照时间对同一地理事物在不同阶段的形成过程进行比较，既可以进行定性分析，又可以进行定量比较。如果要解答的问题材料没有明确给出相关信息，那么就对已有信息进行分析，求同存异，然后再对地理事物的相同点和不同点展开比较，最终找到解决问题的思路。下面以2018年江苏卷第3题为例进行说明。

【真题展示】下图为“某地二分二至日太阳视运动示意图”。读图回答下题。

3.线①所示太阳视运动轨迹出现时的节气为

( )

A.春分 B.夏至 C.秋分 D.冬至

【比较分析】相同点：

已知信息：都是太阳高度最大时刻即正午时，太阳位于南方天空。

结论：判断该地位于北回归线以北。

不同点：

已知信息:3条线中，①线正午太阳高度最小。

结论：北回归线以北地区正午太阳高度最小时，太阳直射南回归线，①线代表冬至日。答案选择D选项。

数学作为一门基础学科，它是其他一切学科的基础，地理也不例外。中学生在地理问题的研究和解决上，如果能够把数学上已经学到的基本运算、基本思想和基本方法，熟练、灵活地运用到地理问题的解答中来，那么对于广大的学生而言，学好地理将不再是一件难事。