弱耗散Fornberg-Whitham方程解的爆破

丁丹平，刘 飞

(江苏大学 理学院，江苏 镇江 212013)

文献[1]首次给出了Fornberg-Whitham(FW)方程

(1)

其中：x,t∈R，u=u(x,t)表示x方向、t时刻水波的流速或表示波的自由表面距离水平面的高度.

文献[2]对FW方程进行研究，得到其尖峰孤子解为

(2)

FW方程不仅有尖峰孤子解(2)，还有光滑孤子解、周期尖角解、环形解和驼峰解[3-4].关于FW方程的局部适定性、解的稳定性和爆破性质也有许多研究成果[5-13].

FW方程是关于理想流体的浅水波方程，但是实际物理流体总会存在能量耗散. 论文研究弱耗散FW方程的Cauchy问题

(3)

其中：εuxx是耗散项，ε≥0是耗散系数.

(4)

论文主要研究弱耗散FW方程的局部适定性以及解的爆破. 研究结果表明弱耗散FW方程解的爆破率不受弱耗散项的影响，但方程解的爆破条件却受到耗散系数的影响.

1 局部适定性

应用Kato半群理论研究弱耗散FW方程的局部适定性. 考虑拟线性发展方程

(5)

设X和Y是两个Hilbert空间，Y能连续且稠密地嵌入X，从Y到X有一拓扑同胚Q:Y→X，用L(Y,X)表示从Y到X的全体有界线性算子空间，若

(i) 对∀y∈Y，A(y)∈L(Y,X)是拟-m增生算子，且对∀y,z,w∈Y，存在常数μ1，使得

‖(A(y)-A(z))w‖X≤μ1‖y-z‖X‖w‖Y.

(ii)QA(y)Q-1=A(y)+B(y)，其中B(y)∈L(X,X)在Y的有界集上一致有界，且对任意y,z∈Y,w∈X，存在常数μ2，使得

‖(B(y)-B(z))w‖X≤μ2‖y-z‖Y‖w‖x.

(iii)f:Y→Y是有界的，且对于y,z∈Y，存在常数μ3,μ4，使得

‖f(y)-f(z)‖Y≤μ3‖y-z‖Y，‖f(y)-f(z)‖X≤μ4‖y-z‖X.

引理1(Kato定理) 在条件(i)～(iii)下对于v0∈Y，存在最大常数T(‖v0‖Y)>0，使得方程(5)存在唯一解v，满足

v=v(·,v0)∈C([0,T);Y)∩C1([0,T);X).

u=u(·,u0)∈C([0,T);Hs)∩C1([0,T);Hs-1)，

并且解连续依赖于初值，即映射u→u(· ,u0):Hs→C([0,T);Hs)∩C1([0,T);Hs-1)是连续的.

2 爆 破

引理2对于任意函数f∈L2和σ∈R，有

‖Λ-1f‖L2=‖f‖H-1, ‖Λ-1f‖Hσ=‖f‖Hσ-2, ‖∂xf‖Hσ≤‖f‖Hσ+1.

(6)

引理3假设u是初值问题(3)对应于u0∈H2的一个解，那么对于适当的t>0，满足

‖u‖H2≤c(t)‖u0‖H2.

(7)

证明对(4)式两端同乘以u并在R上积分，有

由于

(8)

应用(6)，(8)式、Hölder不等式及Sobolev嵌入理论,得

(9)

即

(10)

对问题(3)第一个方程两端同乘以uxx并在R上积分，有

(11)

应用分部积分、(6)式、Hölder不等式及Sobolev嵌入理论，有

有

(12)

结合(10)，(12)式,得

(13)

由(13)式,得

(14)

选择适当的t，有

‖u‖H2≤c(t)‖u0‖H2.

引理4[7]令T>0，u∈C1([0,T);H2(R))，那么对于任意的t∈[0,T)，至少存在一点ξ(t)∈R，使得

并且函数m(t)在区间(0,T)上几乎处处可导，即

下面给出问题(3)的解爆破的一个充分必要条件.

对方程(4)两端同乘以u并在R上积分，有

(15)

对问题(3)第一个方程两端同乘以uxx并在R上积分，有

(16)

由(15)，(16)式,有

(17)

假设存在M>0，使得对所有的(t,x)∈[0,T)×R，有

ux(t,x)≥-M,

(18)

将(18)式代入(17)式，得

(19)

由不等式(19)，得

(20)

因此，若ux(x,t)有界，则问题(3)的解u(x,t)在有限时间内不会发生爆破.

‖u‖H2≤N(t)

成立，由Sobolev嵌入理论可得

‖ux‖L∞≤C‖u‖H2≤CN(T),

这与假设矛盾，因此方程的解会在有限时间内爆破.

定理3如果u0∈H2且存在点x0∈R，满足

证明对问题(3)的第一个方程关于x求导，有

(21)

应用引理4并注意到m(t)是局部Lipschitz的，因此有mx(t)=0，得

(22)

因为对于u∈H2，有

(23)

(24)

将(23),(24)式带入(22)式，得

εm+(ε+2)c‖u0‖H2,

(25)

令K=(ε+2)c(t)‖u0‖H2，则(25)式变为

(26)

(27)

因此，由(26)，(27)式知m(t)在[0,T)上单调递减.

由不等式(26)，有

(28)

使得

因此Cauchy问题(3)的解在有限时间内爆破.

定理4假设问题(3)对应初值u0∈H2的解u(x,t)在有限时间T<∞内发生爆破，有

证明由(26)式可得

(29)

有

即

(30)

再由定理2知

(31)

则存在一点t1∈[0,T)，使得对于任意的δ∈(0,1)，有

由于m(t)在[0,T)上单调递减，有

(32)

将(32)式代入(30)式，有

(33)

即

(34)

因为δ∈(0,1)是任意的，有

即

定理3给出了弱耗散FW方程解爆破的一个充分条件，表明初值问题(3)解的爆破受耗散系数ε的影响.定理4表明初值问题(3)解的爆破速率与弱耗散项无关，弱耗散FW方程的爆破速率与FW方程的爆破速率一样.