复合LINEX损失下逆指数分布模型参数的Bayes可靠性分析

李兰平

(湖南财政经济学院 数学与统计学院，湖南 长沙 410205)

0 引言

逆指数分布是一类重要的寿命分布模型，该模型参数的统计推断问题的研究得到了诸多学者的关注和研究。文献[1]在参数的无信息先验分布下,讨论了平方误差损失、熵损失和LINEX损失函数下逆指数分布参数的Bayes估计问题；文献[2]利用收缩估计方法导出了逆指数分布参数的各类收缩估计问题；文献[3]在加权平方误差损失和MLINEX损失函数下分别得到了逆指数分布参数的Bayes估计Minimax估计；文献[4]研究了逆指数模型参数的损失和风险函数的Bayes估计，并探讨了各估计的保守性质。

损失函数在贝叶斯统计推断中起着重要的作用。平方误差损失函数是贝叶斯分析中最常用的函数。但在某些可靠性和寿命领域，过高估计和低估对决策结果有不同的影响。在这些情况下，平方误差损失函数不能很好地工作。一些学者提出了若干非对称损失函数，如LINEX损失、熵损失函数等[5-7]。近年来，文献[8]提出了一种基于LINEX的对称损失函数,并称之为复合LINEX损失函数，并指出了该损失函数的一些优良性质，并在该损失函数下研究了正态分布和指数分布参数的Bayes估计。近年来，文献[9-11]研究了基于复合LINEX对称损失函数，分别研究了Poisson分布、帕累托分布和BurrXII分布参数的Bayes估计。

设随机变量X服从逆指数分布,相应的概率密度函数为

(1)

其中θ为未知参数.

本文将在参数的先验分布为共轭伽玛先验分布下，研究基于复合LINEX损失函数的逆指数分布参数的Bayes估计问题。

1 预备知识

先验分布和损失函数在贝叶斯统计推断中起着重要的作用。在本文中，参数的先验分布设为伽玛先验分布Γ(α,β)，概率密度函数

(2)

作为贝叶斯统计推断的重要组成部分，损失函数在统计估计的稳健性起着关键的作用。由于在估计可靠性和故障率时，往往高估会带来更大的损失，因此虽然平方误差损失函数是应用最广泛的损失函数，但发展新的对称和非对称损失函数也是非常必要的。LINEX损失函数是最常用的非对称损失函数，其数学表达式为

(ii)LINEX损失函数

L(Δ)=ecΔ-cΔ-1,c≠0，

(3)

下面讨论基于复合LINEX的损失函数下的逆指数分布未知参数的Bayes估计。复合LINEX对称损失函数是在LINEX损失函数的基础上提出的[8]，其数学表达式为

L(Δ)=Lc(Δ)+L-c(Δ)=ecΔ+e-cΔ-2,

(4)

其中Δ=δ-θ，c>0为L(Δ)的形状参数。图1给出了c=1时该损失函数的图像。

图1 当c=1时复合LINEX对称 损失函数 L(Δ)的图像Fig.1 Compound LINEX symmetric loss function L(Δ) with c=1

(5)

2 Bayes估计

(6)

证明给定样本观测值x=(x1,x2,…,xn)，得到参数θ的似然函数

(7)

由似然函数(2)和伽玛先验概率密度函数(4)，利用贝叶斯定理得参数θ的后验概率密度函数为

h(θ|x)∝l(θ;x)·π(θ)∝

θn+α-1e-(β+t)θ。

(8)

从式(8)可知，参数θ的后验分布仍然为伽玛分布Γ(n+α,β+T)，对应的密度函数为

(9)

于是，有

和

于是，根据公式(5)，参数θ的Bayes估计为

3 数值模拟分析和结论

表1 不同样本量下的估计值和均方误差(α=1， β=1)Tab.1 Estimates and mean square errors under different sample sizes(α=1, β=1)

表2 不同样本量下的估计值和均方误差(α=0.5， β=1.5)Tab.2 Estimates and mean square errors under different sample sizes(α=0.5, β=1.5)

从表1和表2可以看出，基于复合LINEX的损失函数下得到的Bayes估计值受到损失函数的形状参数c的影响。当样本量n很小时，参数c的值对估计结果的影响更大，但随着样本量n变大，均方误差估计值在减小。特别地，当样本量n大于50时，c的影响几乎可以忽略，各个估计值也都越来越接近参数的真值。同时，当样本量n较大时，先验分布的变化对估计结果的影响较小。