求解第一类非线性积分方程的投影迭代法*

徐志海，罗兴钧，张 荣

(赣南师范大学 数学与计算机科学学院，江西 赣州 341000)

1 引言

第一类非线性算子方程F(x)=y的求解是典型的不适定问题，一般要用正则化方法[1-3]，才能得到稳定的数值解.粗略的说，正则化方法分成两类：变分正则化方法与迭代正则化方法.Tikhonov正则化方法是典型的变分正则化方法[4]，难点是极小化解的求解.因此实际问题广泛采用迭代正则化方法，比如Gauss-Newton方法[5-6]、Levenberg-Marquardt方法[7-8]、Landweber方法[9-10].由于Landweber 迭代方法，简单、容易实现，因此在实际问题中受到了广泛的关注.但是Landweber迭代方法对非线性算子F的要求比较苛刻，适用范围受限，因此,Scherzer在文献[11]中提出了求第一类非线性算子方程的改进的Landweber迭代方法.这个方法的优点是降低了对非线性算子F的要求，只要求F关于x的Frechet导数F′(x)满足Lipschitz条件，这个条件容易验证.由于Scherzer的方法是在无限维Hilbert空间中提出的，实际应用中无法实现，因此本文的主要工作就是在有限维空间中，提出离散的改进Landweber迭代算法，给出迭代停止准则，确保近似解的收敛性与收敛率.优点是实用性强，保收敛性.

2 离散的改进迭代格式

本节结合改进形式的Landweber迭代方法和多尺度Galerkin投影方法，给出求解第一类非线性积分算子方程的离散的改进迭代格式.

F(x)=yδ,

(1)

其中x是X中的未知元素，yδ是Y中的确定元素.

改进的Landweber迭代方法，其形式为

(2)

假定对于任意的n∈N，D(F)∩Xn≠φ，Pn∶X→Xn为正交投影算子.利用多尺度Galerkin投影方法离散改进的Landweber迭代方法(2)，得到离散的改进Landweber迭代格式为

(3)

3 预先假设及迭代停止准则

迭代停止准则(R1)

(i)选择整数n，满足γn

(4)

4 离散的改进迭代格式近似解的收敛性分析

(5)

(6)

由Cauchy-Schwarz不等式及(H3)，有

(7)

(8)

(9)

注意到(I-Pn)2=(I-Pn)，有

由(H1)、(H3)，有

(10)

将(10)代入(9)，有

(11)

(12)

由(11)，有

(13)

由(13)递推，有

现给出离散的改进迭代格式近似解的收敛率.

(14)

(15)

进一步有

(16)

由Cauchy-Schwarz不等式、(H4)、(16)，有

(17)

以及

(18)

将(8)、(17)、(18)代入(5)，有

(19)

由(14)，有

(20)

由(15)，有

5 数值实验

容易验证F满足条件(H1)-(H3)，假定yδ(s)=y(s)+δ·v(s)，其中v(s)=sin(s)，δ∶= 10-j，j=2,3,4,5.假定子空间Xn是在区间[0,1]中的节点j/2n上的分片线性多项式空间，其中j=0,1,2,…,2n-1.子空间Xn的子空间的正交直和空间分解关系式为Xn=X0⨁⊥W1⨁⊥…⨁⊥Wn，其中子空间X0是在区间[0,1]上的线性多项式空间.现选取子空间X0的一组正交基[11-12]为

子空间W1的一组正交基为

则子空间Wi的一组正交基可递归得到，即

数值结果见表1.表1中的数值结果是在选取τ=2.2，并利用迭代停止准则(R1)后验选取迭代次数k*.为了表明收敛速度与噪声水平和离散水平的关系，选取了不同的δ和n值.表1中数值结果与定理1的结论吻合，说明算法是有效的.

表1 数值结果