突出理性思维 落实核心素养(下)*——2020年全国新旧课标卷命题特点与试题简析

广州市教育研究院(510030) 曾辛金

二、2020年全国高考数学新旧课标卷试题简析

2020年高考数学旧课标卷的基础性内容与主干知识包括必考内容的集合、常用逻辑用语、复数、算法、平面向量、线性规划、计数原理(理科)、三角、数列、立体几何、概率与统计、解析几何、函数与导数等，还包括选考内容的坐标系与参数方程、不等式选讲等，这些基础性内容和主干知识在试题中得到全面覆盖.

高考数学新课标卷的基础性内容与主干知识在旧课标卷的基础上，删去了算法、线性规划、三视图等知识点，同时删去了选考内容，根据教育部考试中心的要求，新课标新增的内容在高考中暂不考查.

1 集合

(1)考点考查概况

卷类科类题号分数涉及知识点旧课标Ⅰ卷文科1 5二次不等式、数集，交集理科2 5一次与二次不等式、交集旧课标Ⅱ卷文科1 5一次绝对值不等式整数解，交集理科1 5数集，并集的补集旧课标Ⅲ卷文科1 5数集，交集的元素个数理科1 5点集，交集的元素个数

新课标Ⅰ卷—1 10不等式，并集5韦恩图的应用新课标Ⅱ卷—1 10数集，交集5同新课标Ⅰ卷

(2)试题考查分析

题目1 (旧课标Ⅰ卷理科第2 题)设集合A=B={x|2x+a≤0}，且A ∩B={x|-2 ≤x≤1}，则a=

A.-4 B.-2 C.2 D.4

分析本题主要考查一次不等式与二次不等式的求解、交集的概念与运算，借助数轴可以直观地解答问题，考查数学运算素养等.

题目2(新课标卷第5 题)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是

A.62% B.56% C.46% D.42%

分析本题主要考查利用韦恩图解决数学基本问题，考查数学运算素养等.

(3)考点考查说明

①集合是中学数学的基本概念，也是现代数学的基本语言，是高频考查的知识点之一，主要考查集合的基本概念、元素与集合间的关系以及集合的简单运算，主要考查数集、一次不等式、二次不等式或简单绝对值不等式等的运算.

②新旧课标在集合考查上没有差异，重在对基本概念与基础知识的考查.

2 常用逻辑用语

(1)考点考查概况

卷类科类题号分数涉及知识点旧课标Ⅰ卷文科————理科————旧课标Ⅱ卷文科16 5立体几何中相关命题的真假判断理科16 5同文科旧课标Ⅲ卷文科————理科16 5三角函数中相关命题的真假判断新课标Ⅰ卷—————新课标Ⅱ卷—————

(2)试题考查分析

题目(旧课标Ⅱ卷文理科第16 题)设有下列四个命题:

p1: 两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2: 过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3: 若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p4: 若直线l ⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是____.1

①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p4

分析本题主要考查空间直线与平面位置关系的判断，将立体几何的问题与逻辑命题有机结合，多侧面、多层次考查学生对相关知识的掌握情况，只要依据立体几何中的公理、性质和定理逐个予以判断命题的真假，再确定复合命题的真假即可，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等素养.

(3)考点考查说明

①常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达和交流的工具，是逻辑思维的基本语言.在高考中时有考查，主要以选择题或填空题出现，

②新旧课标在常用逻辑用语的考查要求上有所不同，在旧课标中删去了“了解命题的逆命题、否命题与逆否命题”和“通过数学实例，了解‘或’、‘且’、‘非’的含义”，新课标中增加了“必要条件与性质定理的关系”“充分条件与判定定理的关系”“充要条件与定义的关系”等内容.

3 复数

(1)考点考查概况

卷类科类题号分数涉及知识点旧课标Ⅰ卷文科2 5复数的运算、复数的模理科1 5复数模的运算旧课标Ⅱ卷文科2 5复数的运算理科15 5复数的代数运算与几何运算旧课标Ⅲ卷文科2 5共轭复数与复数的运算理科2 5复数的运算，虚部的概念新课标Ⅰ卷—2 5复数的乘除运算新课标Ⅱ卷—2 5复数的乘法运算

(2)试题考查分析

题目1(新课标Ⅰ卷第2 题)=

A.1 B.-1 C.ⅰ D.-ⅰ

分析本题主要考查复数的代数运算，考查数学运算素养等.

题目2(旧课标Ⅱ卷理科第15 题)设复数z1，z2满足则|z1-z2|=____.

分析本题主要考查复数运算，既可从复数的几何意义入手解答，也可从复数的代数运算角度解答，考查数学运算、逻辑推理等素养.

(3)考点考查说明

①复数是中学数学的重要内容，是解决数学问题的重要工具，是高考数学的高频考点，复数题主要以选择题或填空题形式出现，主要考查复数的基本概念以及复数的运算.

②新旧课标在复数的教学要求上有一定的差异，新课标增加了复数的三角形式，但只作为选学内容，所以本部分内容重在对基本概念与基础知识的考查.

4 算法

(1)考点考查概况

卷类科类题号分数涉及知识点_____旧课标Ⅰ卷文科9 5程序框图、数列_____理科————________旧课标Ⅱ卷文科7 5程序框图，数值运算理科————________旧课标Ⅲ卷文科————________理科————________

(2)试题考查分析

题目1(旧课标Ⅰ卷文科第9 题)执行下面的程序框图，则输出的n=( )

A.17 B.19 C.21 D.23

分析本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n项和公式的应用，依据程序设计逐个求解，发现规律即可得到正确结果，考查数学运算、逻辑推理等素养.

(3)考点考查说明

①算法是旧课标的新增知识点，算法题均以客观题形式出现，主要考查程序框图的三种基本逻辑结构(顺序、条件分支、循环)以及基本算法语句(输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句)，算法试题主要考查考生的阅读理解能力，是得分较高的考题之一.

②新课标删去了“算法”的内容.

5 平面向量

(1)考点考查概况

卷类科类题号分数涉及知识点旧课标Ⅰ卷文科14 5向量的坐标运算、数量积理科14 5平面向量的数量积运算旧课标Ⅱ卷文科5 5平面向量的数量积运算理科13 5平面向量的数量积运算旧课标Ⅲ卷文科————理科6 5平面向量的数量积运算、求两向量角的余弦值新课标Ⅰ卷—7 5平面向量的数量积运算新课标Ⅱ卷—3 5平面向量的分解

(2)试题考查分析

题目1(旧课标Ⅰ卷理科第14 题)设a，b为单位向量，且|a+b|=1，则|a-b|=____.

分析本题主要考查向量模之间的计算，既可从几何的角度思考，也可用代数的方法处理，考查数学运算素养，以及等价转化、数形结合等思想.

题目2(新课标Ⅰ卷第7 题)已知P是边长为2 的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是

A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-2,4) D.(-4,6)

分析本题以正六边形为载体，主要考查平面向量数量积的取值范围，可以转化为向量的坐标运算，考查数学运算素养，以及等价转化、数形结合等思想.

(3)考点考查说明

①向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.平面向量是高考数学常考的内容之一，主要考查平面向量的模、平面向量的数量积及其运算等.由于平面向量是代数与几何的有机结合体，所以数形结合是解决平面向量的有效方法.②新旧课标在平面向量考查上基本没有差异，主要考查数量积的运算.

6 线性规划

(1)考点考查概况

卷类科类题号分数涉及知识点旧课标Ⅰ卷文科13 5简单的线性规划问题，求最大值理科13 5同文科旧课标Ⅱ卷文科15 5简单的线性规划问题，求最大值理科————旧课标Ⅲ卷文科13 5简单的线性规划问题，求最大值理科13 5同文科13 为姊妹题(约束条件同)

(2)试题考查分析

题目1(旧课标Ⅰ卷文理科第13 题)若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为____.

分析本题主要考查线性规划的简单应用，只要正确画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值，考查数学运算素养，以及数形结合思想.

(3)考点考查说明

①线性规划问题主要是能准确画出二次一次不等式组表示的平面区域，并根据平面区域确定目标函数的最优解，一般难度不大.②新课标删去了“线性规划”的内容.

7 计数原理

(1)考点考查概况

卷类科类题号分数涉及知识点旧课标Ⅰ卷理科8 5二项展开式，系数旧课标Ⅱ卷理科14 5排列组合简单运算旧课标Ⅲ卷理科14 5二项展开式中的常数项新课标Ⅰ卷—3 5排列组合的简单应用新课标Ⅱ卷—6 5排列组合的简单应用

(2)试题考查分析

题目1(新课标Ⅰ卷第3 题)6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1 名，乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名，则不同的安排方法共有

A.120 种 B.90 种 C.60 种 D.30 种

分析本题主要考查分步计数原理和组合数的计算，考查数学运算、逻辑推理等素养.

题目2(旧课标Ⅰ卷理科第8 题)的展开式中x3y3的系数为

A.5 B.10 C.15 D.20

分析本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，考查数学运算素养，以及等价转化思想等.

(3)考点考查说明

①计数原理是数学中的重要研究对象之一，基本计数原理是解决计数问题最基本、最重要的方法，为人们解决很多实际问题提供了思想和工具.因此，计数原理是高考数学中考查实际应用能力的一个重要载体.在高考中主要考查使用二项式定理解决二项式系数、项的系数以及简单的实际应用问题.②新旧课标在计数原理部分略有调整，新课标中降低了排列组合的应用要求.

8 三角

(1)考点考查概况(注: 下文中，加*的题目为多选题)___

卷类科类题号分数涉及知识点___________旧课标Ⅰ卷文科7 17三角函数的图像，周期性18解三角形(1)求面积;(2)求角_____理科7 10同文科7 9同角三角函数的运算____________旧课标Ⅱ卷文科13 17二倍角的运算17解三角形(1)求角;(2)证明三角形为直角三角形_____理科2 17三角函数值的符号判断17解三角形(1)求角;(2)求三角形周长的最大值_______旧课标Ⅲ卷文科5 15同角三角函数的运算11解三角形，求角的正切值12三角函数的图像与性质__________理科7 15解三角形，求角的余弦值(同文11 为姊妹题)9同角三角函数的运算16与文12 为姊妹题(命题的真假判断)_______________新课标Ⅰ卷—10*20三角函数的图像与性质(多选题)15解三角形，求面积17解三角形，自选条件解题(新题型)新课标Ⅱ卷—11*20同新课标Ⅰ卷10 16同新课标Ⅰ卷15 17同新课标Ⅰ卷17________________

(2)试题考查分析

题目1(旧课标Ⅲ卷理科第9 题)已知2 tanθ -则tanθ=

A.-2 B.-1 C.1 D.2

分析本题主要考查同角三角函数的运算，利用两角和的正切公式化简求值，考查数学运算素养等.

题目2(新课标Ⅰ卷第10 题，Ⅱ卷第11 题(多选题))下图是函数y=Asⅰn(ωx+φ) 的部分图像，则sⅰn(ωx+φ)=

分析本题主要考查三角函数的图像和性质，本题是2020年新课标卷的新题型，采用多选的形式呈现，需要对选择支逐一验证，考查数学运算、逻辑推理等素养，以及等价转化、数形结合等思想.

题目3(新课标卷第17 题(结构不良题))在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值;若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题是否存在ΔABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

注: 如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

分析本题主要考查解三角形的相关知识，本题是2020年新课标卷的新题型，采用“结构不良”的形式呈现，具有较好的开放性，考生在给出的三个条件中选择1 个解答问题，考查数学运算、逻辑推理等素养，考查等价转化、数形结合等思想，以及数学理解、数学探究等能力.

(3)考点考查说明

①三角包括三角函数、三角恒等变换和解三角形等三部分内容.高考对这部分内容是作为一个整体来考虑的，高考中三角试题一般为3 道小题或1 道小题目1 道大题，小题主要考查三角函数的性质与同角三角函数的关系，大题主要考查解三角形中的问题，基本属于中等偏易题.

②新旧课标在“三角”考查的内容上有所变化，新课标删去了旧课标中的“三角函数线(正弦线、余弦线、正切线)”，将旧课标中的“三角函数的图像和性质”与“三角恒等变换”整合为“三角函数”，将旧课标中的“解三角形”的内容作为“平面向量”中的应用.

9 数列

(1)考点考查概况

卷类科类题号分数涉及知识点旧课标Ⅰ卷文科10 10等比数列的基本运算16递推数列，已知前16 项和求a1理科17 12等差、等比数列(1)求公比;(2)裂项求和旧课标Ⅱ卷文科3 15钢琴中大小三和弦个数之和6等比数列前n 项和与第n 项的比值14等差数列，求前10 项和理科4 15北京天坛，等差数列求和问题6等比数列，已知和求项数11周期数列，新定义旧课标Ⅲ卷文科17 12等比数列(1)求通项;(2)等差数列前n 项和与项数的关系理科17 12递推数列(1)计算并猜通项再证明;(2)裂项求和新课标Ⅰ卷—14 17两个数列公共项重排后得新数列，再求和18等比数列(1)求通项;(2)求新构造数列前100 项和新课标Ⅱ卷—15 17同新课标Ⅰ卷14 18等比数列(1)求通项;(2)求两项乘积符号交叉和

(2)试题考查分析

题目1(旧课标Ⅱ卷理科第4 题)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9 块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9 块，已知每层环数相同，且下层比中层多729 块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)

A.3699 块 B.3474 块 C.3402 块 D.3339 块

分析本题以北京天坛铺设石板为背景，主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查数学运算、数学建模等素养.

题目2(旧课标Ⅰ文卷第16 题)数列{an}满足an+2+(-1)nan=3n-1，前16 项和为540，则a1=____.

分析本题主要考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，通过对n的奇偶性分类讨论，根据递推公式将奇数项用a1表示，建立a1的方程求解即可，考查数学运算、逻辑推理等素养，以及分类讨论思想等.

题目3(新课标Ⅰ卷第18 题)已知公比大于1 的等比数列{an}满足a2+a4=20,a3=8.

(1)求{an}的通项公式;

(2)记bm为{an}在区间(0,m](m ∈N∗)中的项的个数，求数列{bm}的前100 项和S100.

分析本题主要考查等比数列、等差数列等基本量的计算，考查数学运算、逻辑推理等素养，以及分类讨论思想等.第(1)问直接求出a1,q，得到数列{an}的通项公式; 第(2)问通过寻找数列{bm}的形成规律，求得数列{bm}的前100项和.

(3)考点考查说明

①数列主要包括等差数列、等比数列与简单的递推数列等内容.在近几年的高考试题中，数列部分仍是考查的重点之一，主要考查等差数列、等比数列的性质，简单的递推关系等问题，难度以中等难度或中等偏难为主.

②新旧课标在“数列”考查的要求上有所改变，旧课标卷中数列题一般为2-3 道小题或1 道大题，2020年新课标卷中数列题为1 道小题和1 道大题，并且把“数学归纳法”调整到数列部分.

10 立体几何

(1)考点考查概况

卷类科类题号分数涉及知识点旧课标Ⅰ卷文科3 22正四棱锥(埃及金字塔)12球，外接圆面积，球的表面积19圆锥与棱锥，(1)证垂直;(2)求体积理科3 27同文科3 10同文科12 16三棱锥的平面展开图，解三角形18圆锥与棱锥，(1)证垂直;(2)求二面角旧课标Ⅱ卷文科11 17球，三角形面积，球的表面积，求点面距20三棱柱(1)证平行与垂直;(2)求四棱锥体积理科7 17多面体的三视图，点的位置20三棱柱(1)证平行与垂直;(2)求线面角旧课标Ⅲ卷文科9 22几何体的三视图，求几何体的表面积16圆锥内切球体积的最大值19长方体(1)证线线垂直;(2)证四点共面8同文科9理科15 22同文科16 19长方体(1)证四点共面;(2)求二面角正弦值新课标Ⅰ卷—4 22日晷测量，求角度16球与四棱柱侧面的交线长20四棱锥(1)证线面垂直;(2)求线面角正弦的最大值新课标Ⅱ卷—4 22同新课标Ⅰ卷14 13三棱锥的体积20四棱锥(1)证线面垂直;(2)求线面角正弦值

(2)试题考查分析

题目1(旧课标Ⅰ卷文理科第3 题)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

分析本题以古埃及“金字塔”为背景考查正四棱锥的概念及其相关计算，考查数学运算、直观想象等素养.

题目2(新课标Ⅰ卷第16 题)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60◦.以D1为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为____.

分析本题主要考查直四棱柱与球相关的结构特征，涉及到扇形中的弧长公式和立体几何中的轨迹问题等知识点，考查数学运算、直观想象、数学抽象等素养.

题目3(旧课标Ⅰ卷文科第19题)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ΔABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC=90◦.

(1)证明: 平面PAB⊥平面PAC;

分析本题主要考查圆锥内的三棱锥问题，涉及到空间线面位置关系，锥体的体积等知识点，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等素养.第(1)问利用线面垂直则面面垂直的思路，可以找PC(也可找PB)，先证明PC⊥平面PAB，即可证得结论; 第(2) 问求三棱锥P -ABC的体积，既可把ΔPAB作为底面(此时高为PC，即利用第(1)问的结论)，也可把ΔABC作为底面(此时高为PO)，两种思路都可求得结果，但前者明显运算量要小，所以正确的选择可以节省时间，准确率也可得到保障.

题目4(新课标Ⅰ卷第20题)如图，四棱锥P -ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.

(1)证明:l⊥平面PDC;

(2)已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

分析本题主要考查四棱锥中的相关线面位置关系，涉及到的知识点有线面平行的判定和性质，线面垂直的判定和性质，利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值等知识点，考查数学运算、直观想象、逻辑推理等素养.第(1)问通过线面垂直的判定定理证得AD⊥平面PDC，再通过线面平行的判定定理与性质定理，证得AD//l，进而得到l⊥平面PDC;第(2)问先建立空间直角坐标系(本题建系简单)，再写出相关点的坐标，设点Q(t,0,1)，然后求出平面QCD的法向量以及向量的坐标，通过求的最大值，进而得到直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

(3)考点考查说明

①立体几何包括立体几何初步和空间中的向量与立体几何等内容.立体几何部分侧重考查空间概念、推理论证能力、空间想象能力及运算求解能力.立体几何题一般为2道小题目1 道大题.②新旧课标在立体几何的教学要求上作了较大的调整，旧课标文理科在立体几何的要求不同，文科主要考查线面位置关系，面积与体积的计算;理科重点考查用空间向量求角的问题，证明线面间的平行与垂直关系等问题;新课标在旧课标理科要求的基础上，删去了“三视图”和“平行投影与中心投影”，增加了“能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题”(根据“新高考过渡时期数学学科考试范围说明”，新增的内容在2021年、2022年高考中暂时不作为考试内容).

11 概率与统计

(1)考点考查概况

卷类科类题号分数涉及知识点_______________旧课标Ⅰ卷文科4 22古典概型的计算5回归方程类型的判断17产品加工(1)用频率估计概率;(2)利润比较_____________________________理科5 17同文科5 19羽毛球比赛，(1)(2)(3)均为求概率__________旧课标Ⅱ卷文科4 17新冠肺炎，古典概型问题18沙漠治理(1)数量估计;(2)相关系数;(3)分层抽样_____________________________理科3 17同文科4 18同文科18_______________________________旧课标Ⅲ卷文科3 17方差的概念与计算18空气质量(1)用频率估计概率;(2)估计平均值;(3)填写列联表，计算K2 值并判断理科3 17样本的标准差的大小比较18同文科18_______________________________新课标Ⅰ卷—19 12保护环境，治理污染(1)用频率估计概率;(2)填列联表;(3)计算K2 并判断________新课标Ⅱ卷—9 17折线图中的统计问题(多选题)19同新课标Ⅰ卷19__________________________

(2)试题考查分析

题目1(旧课标Ⅰ卷文理科第8 题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:◦C)的关系，在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi,yi)(i=1,2,··· ,20)得到下面的散点图:

由此散点图，在10◦C至40◦C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

分析本题主要考查根据散点图观察函数模型进行选择，本题无需具体计算，只要根据自己的知识积累观察散点图即可得出结论，考查数据分析素养等.

题目2(旧课标Ⅱ卷文科第4 题理科第3 题)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50 份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者

A.10 名 B.18 名 C.24 名 D.32 名

分析本题以新冠肺炎疫情防控志愿者参与配送货物为背景考查古典概型问题，彰显正能量，考查数学运算、数据分析等素养.

题目3(新课标卷第19 题)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100 天空气中的PM 2.5 和SO2浓度(单位:µg/m3)，得下表:

PM 2.5 SO2[0,50](50,150](150,475][0,35]32 18 4_____(35,75]6 8 12____(75,115]3 7 10____

(1)估计事件“该市一天空气中PM 2.5 浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率;

(2)根据所给数据，完成下面的2×2 列联表:

PM 2.5 SO2[0,150](150,475][0,75](75,115]

(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM 2.5 浓度与SO2浓度有关?

分析本题主要考查古典概型、独立性检验(2×2 列联表)等知识，考查数据分析、数学运算等素养.第(1)问根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果;第(2)根据表格中数据可得2×2 列联表;第(3)问计算出K2，再与6.635 比较可得结果.本题思维难度不大，运算量也较小.

题目4(旧课标Ⅰ卷理科第19 题)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下:

累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为

(1)求甲连胜四场的概率;

(2)求需要进行第五场比赛的概率;

(3)求丙最终获胜的概率.

分析本题主要考查独立事件概率的计算，考查数学运算、逻辑推理、数学抽象等素养，考查分类讨论思想和理性思维能力.第(1)问根据独立事件的概率乘法公式可直接求得结果;第(2)问需要明确赛制，利用对立事件的概率公式求解较为简单，若利用列举法(分别列举甲、乙、丙获胜的概率)求解较为繁琐;第(3)问通过分析丙获胜的各种可能，再分别考虑不同可能下的不同情形(相当于二次分类)进行求解.

(3)考点考查说明

①概率与统计包括统计、概率、统计案例等内容.概率与统计内容是中学数学的重要知识，也是新课改后高考常考常新的内容之一，在应用题的考查方面，它基本上取代了传统的数学应用题，与高等数学联系非常密切，是进一步学习高等数学的基础，也是高考数学命题的热点内容.旧课标卷概率与统计试题一般为1-2 道小题，1 道大题，小题主要考查古典概型与抽样方法等，大题更注重应用性，考查随机事件的分布列与数学期望较为频繁，统计案例也是高考的常考知识点.2020年新课标卷概率与统计试题只考了1 道大题，且仅考查概率问题.

②新旧课标在概率与统计的教学要求上作了较大的调整，旧课标文理科在概率与统计的要求不同，文科要求较低;新课标在旧课标理科要求的基础上，删去了“系统抽样”和“几何概型”，增加了“有限样本空间”、“百分位”、“结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.了解贝叶斯公式”和“成对数据的统计相关性”“样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系”(根据“新高考过渡时期数学学科考试范围说明”，新增的内容在2021年、2022年高考中暂时不考).

12 解析几何

(1)考点考查概况

卷类科类题号分数涉及知识点_______________旧课标Ⅰ卷文科6 22直线与圆的位置关系，弦长最小11双曲线，求三角形面积21直线与椭圆(1)求椭圆方程;(2)证直线过定点_________________________理科4 27直线与抛物线的位置关系，求p 11直线与圆的位置关系，求直线方程15求双曲线的离心率20同文科21_______________________________旧课标Ⅱ卷文科8 22直线与圆的位置关系9直线与双曲线，求焦距的最小值19直线、椭圆、抛物线(1)求椭圆离心率;(2)求椭圆与抛物线方程___________理科5 22同文科8 8同文科9 19同文科(1)同文科;(2)求椭圆与抛物线方程___________________旧课标Ⅲ卷文科6 32与平面向量结合的轨迹问题7直线与抛物线，求抛物线焦点坐标8求点到过定点的直线的距离最小值14双曲线、渐近线，求离心率21直线与椭圆(1)求椭圆方程;(2)求三角形面积_________________________理科5 27同文科7 10直线与抛物线、圆同时相切，求切线方程11双曲线，求实半轴长20同文科21_______________________________新课标Ⅰ卷—9*22圆锥曲线的类型判断(多选题)13直线与抛物线相交，求弦长22椭圆(1)求方程;(2)证明存在定点，线段定长新课标Ⅱ卷—9*22同新课标Ⅰ卷9 13同新课标Ⅰ卷13 21椭圆(1)求方程;(2)求三角形面积的最大值__

(2)试题考查分析

题目1(旧课标Ⅲ卷理科第10 题)若直线l与曲线都相切，则l的方程为

分析本题主要考查利于导数的几何意义等知识求解直线与圆、直线与抛物线的公切线问题，考查数学运算素养等.

题目2(新课标Ⅰ卷第9 题，Ⅱ卷第10 题(多选题))已知曲线C:mx2+ny2=1.

A.若m ＞n ＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m=n ＞0，则C是圆，其半径为

C.若mn ＜0，则C是双曲线，其渐近线方程为

D.若m=0，n ＞0，则C是两条直线

分析本题主要考查曲线与方程的结构特征、性质与几何意义等，由于是多选题，需要对每个条件进行验证并加以判断，考查数学运算素养，以及数形结合思想等.

题目3(旧课标Ⅱ卷理科第19 题)已知椭圆C1:的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且

(1)求C1的离心率;

(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程.

分析本题主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系，考查数学运算素养，以及数形结合思想等.第(1)问分别求出|AB|、|CD|，利用可得出关于a、c的齐次等式，即可求得椭圆C1的离心率;第(2)问关键利用抛物线的定义表示|MF|=5，再根据第(1)问的结果分别求出C1与C2的标准方程.

题目4(新课标Ⅰ卷第22 题)已知椭圆C:1(a ＞b ＞0)的离心率为，且过点A(2,1).

(1)求C的方程:

(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明: 存在定点Q，使得|DQ|为定值.

分析本题主要考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题和平面几何知识，考查数学运算素养，以及数形结合、等价转化等思想.第(1)问利用椭圆的离心率定义与解方程组等知识求解;第(2)问先需要判断出直线MN过定点P，在RtΔADP中利用平面几何的知识(直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半)，即可找到定点Q(即AP的中点).

(3)考点考查说明

①解析几何包括直线、圆锥曲线等内容.平面解析几何侧重于形象思维、推理运算和数形结合，综合了代数、三角、几何、向量等知识，所涉及的知识点较多，对解题能力考查的层次要求较高.基于“多考一点思维，少考一点运算”的命题理念，近几年全国课标卷在解析几何解答题中加大了思维能力的考查，减少了对复杂运算的考查.高考中解析几何题一般为2-3 道小题，1 道大题，小题主要考查圆锥曲线中的基本概念与性质，大题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系，侧重考查定点定值问题与取值范围问题等.

②新课标在解析几何的教学要求上略微作了调整，新课标删去了旧课标理科中的“曲线与方程”，将旧课标的“解析几何初步”与“圆锥曲线”整合为新课标的“平面解析几何”，这样把原本分割的知识放在一起教学.

13 函数与导数

(1)考点考查概况

卷类科类题号分数涉及知识点_____________旧课标Ⅰ卷文科8 22指数与对数的运算，换底公式15求对数函数的切线方程20指数与一次函数组合(1)讨论单调性;(2)有两个零点下求参数范围__________理科6 22求四次函数的切线方程12指数与对数组合函数单调性的应用21指数与而次函数组合(1)讨论单调性;(2)不等关系下求参数范围____________旧课标Ⅱ卷文科10 22幂函数的奇偶性与单调性12复合指数函数的单调性应用，对数运算21对数函数(1)不等关系求参数范围;(2)讨论函数的单调性________________理科9 22对数复合函数的奇偶性与单调性11同文科12 21三角函数组合(1)讨论单调性;(2)利用均值不等式证明不等关系;(3)利用(2)的结论证明不等关系_________________旧课标Ⅲ卷文科4 27新冠肺炎的函数模型，求值10函数值的大小比较15函数的导数运算20含参三次函数(1)讨论单调性;(2)有三个零点求参数取值范围________理科4 22同文科4 12函数值的大小比较21三次函数(1)求值;(2)证明零点范围___新课标Ⅰ卷—6 32新冠肺炎的指数函数模型，相关运算8利用抽象函数的性质解不等式11*条件不等式的关系(多选题)12*随机变量，新定义(信息熵)(多选题)21指数、对数组合函数(1)求切线、围成三角形面积;(2)不等关系下求参数的取值范围_____________________________新课标Ⅱ卷—7*27对数函数的单调性问题8同新课标Ⅰ卷8 12*同新课标Ⅰ卷11 22同新课标Ⅰ卷21_____________________

(2)试题考查分析

题目1(旧课标Ⅰ卷理科第12 题)若2a+log2a=4b+2log4b，则

A.a ＞2bB.a ＜2bC.a ＞b2D.a ＜b2

分析本题主要考查指数与对数的混合运算，需要通过构造函数，利用函数的单调性比较大小，考查数学运算、数学抽象、逻辑推理等素养.

题目2(新课标Ⅰ卷第12 题(多选题))信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为1，2，···，n，且P(X=i)=pi ＞0，(i=1,2,··· ,n)，定义X的信息熵

A.若n=1，则H(X)=0

B.若n=2，则H(X)随着p1的增大而增大

D.若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,··· ,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1-j，(j=1,2,··· ,m)，则H(X)≤H(Y)

分析本题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，侧重考查函数的性质与应用，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，由于是多选题，需要对每个条件进行验证并加以判断，考查数学运算、逻辑推理等素养，以及运用数学知识分析问题、解决问题的能力.

题目3(旧课标Ⅰ卷文科第20 题)已知函数f(x)=ex-a(x+2).

(1)当a=1 时，讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

分析本题主要考查函数与导数的综合应用，涉及到的知识点有函数的单调性、极值、零点等，考查数学运算、数学抽象、逻辑推理等素养，以及等价转化、数形结合、分类讨论等思想.第(1)问是在a=1 时，讨论函数的单调性问题，属于常规问题;第(2)问是在f(x)有两个零点的条件下，求参数的取值范围，虽然“分类讨论”，“分离参数”或“分离函数”等思路是属于通性通法的解答，但每种解法都有难以逾越的障碍，需要较强的解题智慧.

题目4(新课标Ⅰ卷第21 题，Ⅱ卷第22 题)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.

分析本题主要考查函数与导数的综合应用，涉及的知识点有曲线的切线、不等式恒成立等，考查数学运算、数学抽象、逻辑推理等素养，以及等价转化、数形结合、分类讨论等思想.第(1)问先利用导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与坐标轴的交点坐标，最后求出三角形面积，属于常规问题;第(2)问是在不等式成立的条件下，求参数的取值范围，由于参数不能分离，所以只好通过求函数f(x)的最小值的方法来解决，由于本题的函数是指数函数与对数函数组合的函数，所以适当放缩可能是一种不错的选择，当然放缩的尺寸把握是难点.

(3)考点考查说明

①函数与导数是高中阶段数学中重要的基础知识，是高考考查的重中之重，涉及函数与导数的问题已成为经久不衰的热点，常考常新.考题既有选择题和填空题，又有解答题，难度既有容易题、中档题，也有压轴的难题.函数与导数一般为2-3 道小题(2020年新课标卷考了4 道小题，其中2 道多选题)，1 道大题，小题主要考查函数的性质，函数值(分段函数)的计算，导数的基本概念等;大题主要考查导数的几何意义，导数的应用(单调性、极值、零点等)，且常与不等式等知识融合在一起，思维要求较高.

②新旧课标在函数与导数的教学要求上作了一定的调整，旧课标文理科在函数与导数的要求不同，文科没有定积分等内容; 新课标在旧课标理科要求的基础上，删去了“映射”“生活中的优化问题举例”“定积分的概念”“微积分基本定理”和“定积分的简单应用”等，增加了“函数概念的形成与发展”“对数概念的形成和发展”等.

14 极坐标与参数方程

(1)考点考查概况

卷类科类题号分数涉及知识点_________旧课标Ⅰ卷文理科22 10参数与极坐标方程(1)化直角_________________________________________________________________________________________坐标方程;(2)求交点坐标旧课标Ⅱ卷文理科22 10两参数方程(1)化为普通方程;___________________________________________________________________________________________(2)求圆的极坐标方程旧课标Ⅲ卷文理科22 10直线参数方程(1)求两点距离;__________________________________________________________________________________________(2)求直线的极坐标方程

(2)试题考查分析

题目1(旧课标Ⅰ卷文理科第22 题)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ-16ρsⅰnθ+3=0.

(1)当k=1 时，C1是什么曲线?

(2)当k=4 时，求C1与C2的公共点的直角坐标.

分析本题主要考查参数方程与极坐标方程化为直角坐标方程，考查数学抽象、数学运算等素养，考查分类讨论、数形结合等思想.第(1)问只要运用sⅰn2x+cos2x=1 即可将参数方程化为直角坐标方程，属于送分题;第(2)问要求将极坐标方程化为直角坐标方程，并将参数方程化为直角坐标方程，再求两曲线的交点坐标.

题目2(旧课标Ⅱ卷文理科第22 题)已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1:(t为参数) ，(t为参数).

(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程;

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程.

分析本题主要考查参数方程化为直角坐标方程，考查数学运算等素养，考查等价转化、数形结合等思想.第(1)问中将两个参数方程化为直角坐标方程都不算难，但要注意x，y的范围限制;第(2)问是求已知圆心的动态位置且经过两个定点的圆的方程，只要认真领会题意，难度也不是太大.

(3)考点考查说明

①极坐标与参数方程包括极坐标和参数方程的基本概念，曲线的多种表现形式.极坐标与参数方程是两道“选考题”中的第一题，且文理试题相同，每年的试题都是2 个小问(每问各5 分)，主要考查直线与圆锥曲线的参数方程形式，极坐标与直角坐标的互化，考查数形结合的思想、坐标系思想和参数方程思想，主要考查参数方程，当涉及到极坐标问题时，则主要考查极坐标与直角坐标的互化.

②新课标删去了“坐标系与参数方程”的选考内容.

15 不等式选讲

(1)考点考查概况

卷类科类题号分数涉及知识点旧课标Ⅰ卷文理科23 10绝对值函数(1)画图像;_____________________________________________________________________________________________(2)求不等式解集旧课标Ⅱ卷文理科23 10含参绝对值函数(1)解不等式;__________________________________________________________________________________________(2)不等关系求参数范围旧课标Ⅲ卷文理科23 10等式条件(1)证明不等关系;____________________________________________________________________________________________(2)证明最大值关系

(2)试题考查分析

题目1(旧课标Ⅰ卷文理科第23 题)已知函数f(x)=|3x+1|+2|x-1|.

(1)画出y=f(x)的图象;

(2)求不等式f(x)＞f(x+1)的解集.

分析本题主要考查绝对值函数图像的画法和绝对值不等式的解法，考查数学运算等素养，考查等价转化、数形结合、分类讨论等思想.第(1)问利用分界点分段得到分段函数，再分段画图;第(2)问利用(1)中f(x)的图像向左平移1 个单位得到f(x+1)的图像，比较两个图像中符合条件的解集，也可利用分段函数讨论来求解.

题目2(旧课标Ⅲ卷文理科第23 题)设a，b，c ∈R，a+b+c=0，abc=1.

(1)证明:ab+bc+ca ＜0;

(2) 用max{a,b,c}表 示a，b，c的最大值，证明:

分析本题主要考查条件不等式的证明，考查数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养，考查等价转化等思想.第(1)问利用(a+b+c)2=0 即可证得结论;第(2)问根据条件的轮换对称性和已知条件，可以假设，利用反证法证明.

(3)考点考查说明

①不等式选讲主要是理解绝对值的几何意义，重点掌握含绝对值不等式的应用、解含绝对值的不等式.不等式选讲是两道“选考题”中的第二题，且文理试题相同，每年的试题都是2 个小问，主要以含绝对值的函数问题为背景，具体考查绝对值不等式的解法和求参数的取值范围等，偶尔考查重要不等式的应用与证明.

②新课标删去了“不等式选讲”的选考内容.

以上对2020年全国高考数学新旧课标卷的命题特点与试题作了简单的分析，对试题详细的精彩分析见本期其他作者的文章.