抛物线参数方程的应用

广东省茂名市信宜中学(525300) 何浩成

一、抛物线参数方程的定义

高中数学选修4-4 人教版新课标A 版33 页提到:

“抛物线的普通方程为y2=2px(p ＞0)，其中p表示焦点到准线的距离，则其参数方程为:(t为参数).参数t表示抛物线上除去顶点外任一点与原点连线的斜率的倒数.

同理，抛物线的普通方程为x2=2py(p ＞0)的参数方程为:(t为参数).”

二、抛物线参数方程的应用

1 在求曲线轨迹方程方面的应用

例1已知直线l与抛物线y2=4x交于A,B两点，O是坐标原点，

(1)求线段AB中点的轨迹M的方程.

解法一当直线AB斜率存在时，设AB方程为:y=kx+b(k /=0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，联立方程得:k2x2+(2kb -4)x+b2=0，由Δ=16-16kb ＞0⇒ kb ＜1，结合韦达定理得:因为所以x1x2+y1y2=-4，即x1x2+k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=-4，得(b+2k)2=0，即b=-2k.

设AB中点M坐标为(x,y)，则消去k和b得:y2=2x-4.当直线AB斜率不存在时，求得AB中点坐标M为(2,0)，也满足y2=2x-4.所以AB中点M的轨迹方程为:y2=2x-4.

解法二根据抛物线参数方程设A、B两点的坐标分别为:(4a2,4a),(4b2,4b)(a,b ∈R)，因 为所 以16(ab)2+16ab=-4，所以(2ab+1)2=0⇒ab=设AB中点M坐标为(x,y)，则消去a和b得:y2=2x-4.所以AB中点M的轨迹方程为:y2=2x-4.

这是2020 届全国冲刺联考文科卷21 题第(1)问，改编教材4-4 第35 页课后练习第5 题.本题我校文科1300 多个考生的平均分才2.34，不少学生想用解法一求解，但由于设求字母多、计算量大导致无法完成，或者漏了说明直线AB斜率不存在的情况，得分不理想.对比解法一，解法二利用抛物线参数方程求解就显得简洁明了，也体现了抛物线参数方程在解题中有着重要的应用与地位.

2 在求解定点、定值方面的应用

例2设A，B为曲线C:x2=2py(p ＞0)上两点，满足OA ⊥OB，证明: 直线AB过定点.

证明根据抛物线参数方程设A、B两点的坐标分别为:(2pa,2pa2)，(2pb,2pb2)(a,b /=0)，因为所以(ab)2+ab=0⇒ab=-1，故直线AB的方程为:y-2pa2=(a+b)(x-2pa)，即y=(a+b)x+2p，故直线AB过定点(0,2p).

本题是一个典型例题，常在各地模拟题出现，解法非常丰富，但利用抛物线参数方程求解显得非常简洁、易懂.

例3(2017年高考新课标Ⅰ卷) 设A，B为曲线上两点，A与B的横坐标之和为4.

(1)求直线AB的斜率.

解根据抛物线参数方程设A、B两点的坐标分别为:(4a,4a2)，(4b,4b2)(a,b ∈R)，所以4(a+b)=4⇒a+b=1，直线AB的斜率为

3 在求解最值方面的应用

例4已知点P为抛物线y2=4x上的动点，求P点到直线x+y+4=0 的最小值.

解根据抛物线参数方程设P点的坐标为:(4a2,4a)(a ∈R)，则P到直线的距离为:d=此时P点坐标为: (1,-2).

在解决圆、椭圆上的动点问题时，常常利用它们的参数方程统一变量进行求解，其实抛物线上的动点问题也可以考虑抛物线参数方程进行统一变量，求解过程显得轻而易举.

例5已知抛物线方程为E:y2=2px(p ＞0)的焦点为F，点A，B，C为E上的动点，当点A到x轴的距离为6 时，过点A作E的准线的垂线，垂足为H，则ΔAFH为等边三角形.

(1)求抛物线E的方程;

解(1) (过程略) 抛物线方程为E:y2=在解决第(2) 问前，先引用由三角形三个顶点坐标表示的三角形面积公式: 在ΔABC中，若A，B，C三点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)，则ΔABC的面积为:

因此第(2) 问的解法如下: 抛物线E的焦点坐标为根据抛物线参数方程，可设A，B，C三点的坐标分别为则:由得:因为所以

注意到

不妨设a=t1-t2＞0，b=t2-t3＞0，所以t1-t3=a+b ＞0，所以S=3ab(a+b).则问题转化成在a2+b2+(a+b)2=9条件下，求ab(a+b)的最大值.

因为a2+b2+(a+b)2=2(a+b)2-2ab=9，又a ＞0,b ＞0，从而2(a+b)2＞9，所以a+b ＞又由于2(a+b)2-9=2ab ≤所以即有所以ab(a+b)=

考虑易证，f(x)max即有所以故ΔABC的面积的最大值为

本题第(2)问涉及到了三个动点，变量多，难度大，对于学生来说无从下手，利用抛物线参数方程巧妙地结合基本不等式等大大地减少了计算量.这一类问题在浙江的高考题或者模拟题中常见，参数方程法无疑就成了学生解决这一类问题的利刃.

三、结束语

本文对抛物线参数方程在求解轨迹方程、定点定值、最值方面的应用作了分类总结.充分体现了抛物线参数方程在处理多个变量时可以避免讨论、简化计算，也体现了抛物线参数方程在解题中有着广泛的应用，是学生补充性学习的好素材.