瓶子注水过程中空气柱振动发声的频率特性研究

高孙浩，陈晨，李昕淼，吴建光，邹勇

瓶子注水过程中空气柱振动发声的频率特性研究

高孙浩1，陈晨2，李昕淼2，吴建光2，邹勇2

（安徽工业大学 1. 电气学院，2. 数理学院，安徽 马鞍山 243000）

建立了瓶子在注水过程中的发声模型，理论分析获得了确定边界条件下的解，通过实验验证了模型的正确性．研究发现，瓶子发声主要是由空气柱振动产生，瓶口处发出的声音含有多种频率．频率只能取一系列分立的值并且与空气柱长度成反比．

空气柱；频率；声音特征

日常生活中，用暖水瓶灌开水时，凭声音就可以知道暖水瓶是否将要灌满，这种现象被称作“暖水瓶唱歌”．简单的现象背后蕴含着深刻的道理，值得做深入地研究．在2017年国际青年物理学家锦标赛（YIPT）的题目中，其中一题就是类似于管乐器谐振腔结构装置的声音参数影响因素分析．随后在2019年，YIPT的第5题“填充瓶子”研究的是瓶子在注水时，影响声音特性改变的相关参数．这2道题目都是研究容器内发声问题．声学一直吸引着广大研究者的兴趣[1]，从音乐中的谐振动[2-4]到航空中非谐振动[5-6]，人们对发声问题的研究从未间断．例如：大家所熟识的管乐器，其实质都是通过按压不同的音孔来改变腔内空气柱的长短，从而使空气柱以不同的频率振动产生不同的音调[7]．空腔也是一种常见的飞行器结构，在高速来流条件下，空腔流致噪声会对飞行器性能造成严重影响[8-9]．本文根据“填充瓶子”装置模型，探究水瓶发声问题原理，建立理论模型，然后得到振动方程，通过理论分析获得确定边界条件下的解，最后通过实验验证模型的适用性．

1 填充瓶子时声音特性的理论分析

“填充瓶子”题目为：当垂直的水柱进入瓶子时，可能会产生声音，并且，随着瓶子被填充，声音的特性会改变．探究此系统的相关参数，如水柱的速度与尺寸，瓶子的大小与形状或水温等对声音的影响．

首先，确定声音的来源．众所周知，振动的物体可以发出声音．本题中声音的来源可以是瓶子本身、瓶子中的水柱和瓶子中的空气柱．这3种物体都可以看作连续的弹性介质，由于“注水”这个扰动，使它们振动，最后通过空气传播，发出声音．弹性介质内媒质元振动的传播过程，类似于多个弹簧振子相互串联耦合而成的链形系统．对于空气和水等理想流体媒质中声振动传播的方向与媒质元振动方向相同，即为纵振动．

整理后可写为

进而得到空气柱或水柱作纵振动时的简正频率为

式（7）说明，在空气柱或水柱中传播的声振动的频率只能是一系列分立的值．由此可得，媒质中各点的振动位移为

式（8）是一系列驻波方程的叠加，一端为波节，另一端为波腹．

值得一提的是，方程（4）和从理想流体的3个基本方程得到的一维小振幅声波的波动方程在形式上是一样的．但方程（4）的推导过程较为简洁，声压随时间和空间的变化关系[10]为

2 实验验证及结果分析

实验装置见图2，主要包括带阀门的储水容器、铁架台、载物台、各类瓶子、测频耳机、声频分析软件Adobe Audition CS6等．

在注水过程中，利用软件采集到的量筒声音特征图谱（见图3），水平方向为时间轴，竖直方向为频率，显示区域的亮度表示振动的幅度．由图3发现，显示区出现一系列等间隔的条纹，验证了分立波的传播．分析瓶子发声的主要来源．若声音来自瓶子及水柱[12]，随着注水的进行，水柱的长度逐渐变长，由公式（7）可得，频率会降低，音调降低．若声音是由液面上方的空气柱发出，空气柱的长度越来越短，音调越来越高．实验发现，当水柱注入容器时会产生声音，并且声音随着水面的升高而变得尖锐．说明采集到的声音主要是由空气柱振动产生的．

图2 实验装置

图3 量筒声音特征图谱

在某一瞬间，水滴落在液面上激发空气柱振动，这种激励是复杂的多频振动，利用傅里叶变换可以展开为无限多种谐振动的叠加，每一个频谱成分都能在空气柱中形成相应的驻波[13]．其中频率满足公式（7）的频谱成分在管口处都恰好对应驻波的波腹，形成共振．因而管口处的空气通过振动都能向外发出相应频率较强的声音．可见，此时瓶口处发出的声音含有多种频率．频率最低的基音，能量一般最大，在图上显示一条最亮的条纹．

在对量筒注水的过程中，结合测频软件得到基频随空气柱的变化关系，发现理论和实验吻合很好（见图4）．除量筒外，选取500 mL的广口瓶、细口瓶、锥形瓶进一步实验．实验结果见图5．

图5中点虚线表示实验值，点实线表示由公式（7）计算的结果．对广口瓶，实验值和理论值接近，这是由于广口瓶粗细比较均匀，和量筒情况类似．对于细口瓶和锥形瓶而言，虽然由公式计算的结果和实验结果随空气柱体积的变化趋势一致，但其结果均大于实验值，这是由于管体形状、管口厚薄及有无突沿等各不相同，因此需对空气柱长度进行校正[14]．对比3种容器发声频率的理论值与实验值，应用简单的谐振方程不能充分解释不同形状瓶子的发声规律，但该模型为后续实验提供了研究方向，将另文讨论．

图4 频率随空气柱长度变化曲线

图5 频率随空气柱体积变化曲线

3 结论

针对瓶子在注水过程中的发声问题，建立了简化的理论模型，通过理论分析获得了确定边界条件下的解，最后通过实验验证了模型的正确性．研究发现，瓶子发声主要是由空气柱振动产生，瓶口处发出的声音含有多种频率．频率只能取一系列分立的值并且与空气柱长度成反比．

[1] 马大猷．现代声学理论基础[M]．北京：科学出版社，2004：37-38

[2] 殷翔．木管五重奏与传统音乐的融合[J]．当代音乐，2020（4）：101-102

[3] 曹向荣．从呼吸系统谈小号吹奏中的高音问题[J]．戏剧之家，2020（9）：56-57

[4] 赵婧．长笛艺术中的民族音乐文化研究[J]．中国民族博览，2020（8）：108-110

[5] 张翔，陈玉春，黄秀全．高低空环境下压气机叶片颤振特性研究[J]．推进技术，2015，36（4）：572-578

[6] 吴翰，王正平，周洲，等．非定常气动力对垂起固定翼无人机动力学的影响[J]．航空兵器，2019，26（2）：21-28

[7] 顾吉林，吴天威，李明浩，等．气球号角谐振腔频率及响度特性研究[J]．大学物理实验，2018，31（5）：43-48

[8] 王显圣，杨党国，刘俊，等．空腔可压缩流致噪声问题研究进展[J]．实验流体力学，2018，32（3）：1-16

[9] 王显圣，杨党国，刘俊，等．弹性空腔流致噪声/结构振动特性试验[J]．航空学报，2017，38（7）：182-191

[10] 杜功焕，朱哲民，龚秀芬．声学基础（上册）[M]．上海：上海科学技术出版社，1981：171-178

[11] 梁法库，吴建波，孟庆伟，等．气体火焰驻波演示实验的理论分析[J]．物理实验，2007（10）：40-41，46

[12] 张枫茁，顾吉林，李欣阳，等．固有频率与共振频率影响因素及实验研究[J]．大学物理实验，2019，32（2）：37-41

[13] 刘义春．空气柱振动发声的理论探析[J]．许昌师专学报，2000，19（5）：94-96

[14] 马惠英，佘守宪．管中的驻波管乐器和簧乐器 物理与音乐之三[J]．物理通报，2004，23（4）：42-45

Sound frequency characteristics of air column vibration in the process of bottle filling with water

GAO Sunhao1，CHEN Chen2，LI Xinmiao2，WU Jianguang2，ZOU Yong2

（1. School of Electrical and Information Engineering，2. School of Math and Physics，Anhui University of Technology，Ma′anshan 243000，China）

A sound model of the bottle during the water injection process is established，and the solution under certain boundary conditions is obtained through theoretical analysis．Experiment result proves the validity of the model．It is found that what mainly makes the bottle sound is the air vibration．And the sound coming out of the bottle mouth place has multiple frequencies，which can only take a series of discrete values and is inversely proportional to the length of the air column．

length of the air column；frequency of sound；sound characteristics

O4-34∶O422.6

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.10.008

1007-9831（2020）10-0031-04

2020-05-20

安徽高校自然基金重点项目（KJ2018A0051）；安徽工业大学教学研究项目（2018jy41）；安徽工业大学省级大学生创新训练计划项目（201810360349，201810360351）

高孙浩（1999-），男，安徽当涂人，在读本科生．E-mail：ahutgsh@163.com

邹勇（1981-），男，安徽太和人，讲师，博士，从事大学物理教学研究．E-mail：zyay2004@163.com