一类具有logistic增长的随机SIRS传染病模型的平稳分布和灭绝性

杜金姬，秦闯亮

一类具有logistic增长的随机SIRS传染病模型的平稳分布和灭绝性

杜金姬，秦闯亮

（信阳学院 数学与信息学院，河南 信阳 464000）

研究了一类具有logistic增长的随机SIRS传染病模型．通过Lyapunov函数法，证明了模型全局正解的存在唯一性．给出了模型正解存在平稳分布以及疾病灭绝的充分条件．

SIRS模型；平稳分布；灭绝性；logistic增长

1　引言及预备知识

从Kermack和Mckendric[1]先驱工作后，数学模型被广泛应用于描述疾病的传播和控制．各种随机形式的流行病模型被建立和研究[2-8]．在传染病模型中，人口的增长采用logistic增长更符合实际．本文考虑一类具有logistic增长的随机SIRS传染病模型

2 全局正解的存在唯一性

为了分析系统（1）的长期行为，证明系统（1）存在唯一的全局正解．

下面的证明类似文献[3]．证毕．

3 平稳分布的存在性

平稳分布的存在性可以看作系统的随机弱稳定性，即疾病将长期存在．

考虑积分方程

引理２中相关符号含义见文献[9]，这里不再赘述．

由式（5）~（7）可知

4　疾病的灭绝性

证明在一些假设条件下，疾病将灭绝．

5 结语

本文研究了一类具有logistic增长的随机SIRS传染病模型，通过构造适当的Lyapunov函数证明了模型存在唯一的全局正解，给出了模型正解存在平稳分布和灭绝的充分条件．

[1] Kermack W O，McKendrick A G．Contributions to the mathematical theory of epidemics-I[J]．Proc R Soc Lond Ser A Math Phys Sci，1927，115（772）：701-721

[2] Zhang X，Liu X．Backward bifurcationn of an epidemic model with saturated treatment function[J]．Math Anal Appl，2008，348： 433-437

[3] Wang L，Zhou D，Liu Z，et al．Media alert in an SIS epidemic model with logistic growth[J]．Biol Dyn，2017，11（1）：120-137

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[5] 张林，李存林，郭文娟．基于媒体报道下的一类SIRS传染病模型研究[J]．数学杂志，2018，38（5）：887-895

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[9] Knasminskii R．Stochastic Stability of Differential Equations[M]．Berlin：Springer Science and Business Media，1980

[10] MAO X R．Stochastic Differential Equationss and Applications[M]．Chichester UK：Horwood Publishing，2007

Stationary distribution and extinction of a stochastic SIRS epidemic model with logistic growth

DU Jinji，QIN Chuangliang

（School of Mathematics and Information，Xinyang College，Xinyang 464000，China）

A class of stochastic SIRS epidemic model with logistic growth was researched．The existence of a unique of the globel positive solution of the model was proved by using the Lyapunov function method．The sufficient conditions for the existence of a stationary distribution of the positive solutions to the model and the extinction of the disease were obtained．

SIRS model；stationary distribution；extinction；logistic growth

O175.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2020.10.004

1007-9831（2020）10-0013-05

2020-05-01

河南省高等学校重点科研项目（20B110017）；信阳市规划项目（2019TS010）；信阳学院资助项目（2018LYB02，2018LYB09）

杜金姬（1981-），女，河南许昌人，讲师，硕士，从事生物数学研究．E-mail：djj168qcl@163.com