分类讨论思想在初中数学解题中的应用研究

王李杰

分类讨论思想即根据题目的特点和要求分成多个类别，再转化成多个小问题解决.在新课程标准引领下，初中数学解题教学越来越注重解题方法的传授，比较关注学生的解题过程，教师需刻意渗透一些数学思想方法.分类讨论思想即为其中之一，能够使学生数学思维变得更为缜密与严谨，且学会全面分析与思考数学问题，最终提高他们的逻辑思维水平与解题能力.

一、分类讨论思想在解决几何问题中的应用

初中数学知识主要由几何与代数两大部分构成，其中几何知识以各种图形为主，与代数知识相比显得更为直观，不过其解题环节对学生的思维水平要求更高，需要学生具有一定的空间观念.而且不少几何知识本身就是在分类讨论思想下学习的，像圆与直线的关系、三角形的种类和勾股定理等.所以，初中数学教师在几何解题教学中需指导学生巧妙应用分类讨论思想，使其分析可能出现的多种情况，最终准确解题.

例如，在进行“勾股定理”解题教学时，教师出示练习题：在等腰三角形ABC中，边AB的長度是5厘米，边BC的长度是6厘米，那么等腰三角形ABC的面积是多大？由于题目中没有明确说明AB、BC是等腰三角形的底还是腰，所以要分两种情况进行讨论，即AB是底、BC是腰，AB是腰、BC是底.

在解答上述几何题目时，学生应该借助分类讨论思想考虑等腰三角形的两种情况，然后结合勾股定理、高等知识对各种情况加以讨论、逐类求解，综合求出正确答案.

二、分类讨论思想解决有理数问题时的应用

在初中数学知识体系中，有理数涉及正数、负数、无理数、数轴、绝对值、相反数，及加减乘除和乘方等知识，可以分为正有理数、负有理数和零，或者分为整数和分数等.在解决初中数学有理数问题时，部分题目中所呈现的条件是分类给出的，涉及的定义或概念是分类的，这时教师应当引导学生合理应用分类讨论思想进行解题，讨论题目中出现的多种情况，从而确保答案的完整性.

比如，在开展“绝对值”解题教学时，教师设置题目：一个数的平方与它的绝对值相比较，可以确定它们之间的大小关系吗？针对范围在0至1之间的小数来说，这些数的平方小于或等于数字的本身;而大于1和小于-1的数，它们的平方则大于数字的本身.由于题目中没有明确给出数的范围，难以确定这个数的平方与其绝对值之间的大小，所以应该对各种情况进行分类讨论，也可以借助数轴辅助讨论.解答：应用分类讨论思想时先讨论特殊点，再讨论其它范围，设这个数是x.（1）当x=±1或x=0时，则|x|=1或|x|=0，得出x2=|x|;（2）当x>1或x<-1时，得出|x|>1，则有x2>|x|;（3）当-1

在上述案例中，学生利用分类讨论思想展开分析，以熟悉绝对值的定义为基础，讨论题目中出现的三种情况，避免他们在解题过程中遗漏某种情况，使其得出完整又准确的答案.

三、分类讨论思想在解决函数问题中的应用

在处理初中数学函数类问题过程中，当问题结果存在多种情形，且难以归结到同一种模式下时，教师需引领学生按照可能出现的各种情况分别展开讨论，得出问题在各种情况下相应的结论，最后再把各种结论进行汇总和筛选，选出符合题目要求的结论.

例如，在实施“二次函数”解题教学时，教师设计题目：已知实数m，函数y=（m-1）x2+（m-2）x-1的图像与x轴只存在一个交点，求m的值.题目中因为没有明确指出该函数是一次函数还是二次函数，所以要进行分类讨论.解答：（1）当函数二次项系数m-1=0时，m=1，该函数为一次函数，把m=1带入原式得到y=-x-1，让-x-1=0，得出x=-1，这时函数与x轴的交点坐标是（-1，0）;（2）当函数二次项系数不是0时，即m-1≠0，该函数是一个二次函数，则△=（m-2）2+4（m-1）=0，解得m=0，把m=0带入原式得到y=-x2-2x-1，这时函数的顶点坐标（-1，0）在x轴上，所以当m=0或m=1时，函数同x轴只要一个交点.

上述案例中学生应用分类讨论思想来解题，基于函数视角出发将题目信息分为一次函数与二次函数两种情况进行分类讨论，然后求出相应的结果，最终顺利求出题目答案.

其实大多数初中数学知识都有所涉及分类讨论思想，在解题中应用的关键在于准确找到分类标准，把所有标准详细地罗列出来，再分别展开讨论和求解，在这一过程中学生的思维得以有效锻炼，进而促使他们掌握更多的解题方法与技巧.