把握中考问题考向，深度探究突破方法

张凤梅

[摘  要] 分析近几年的中考试题，考查锐角三角函数的方式较为多样，侧重于知识综合，无论是命题背景，还是解法特点均具有一定的探究价值.文章将对锐角三角函数的考查方向进行举例探析，总结问题特点，归纳解题方法，并开展相应的教学反思，提出几点学习建议，以期对师生的教学备考有所帮助.

[关键词] 锐角三角函数;中考;概念;网格;应用;综合

三角函数是中学数学的重要分支，其知识内容贯穿初中和高中数学，因此具有特殊的地位.在初中阶段需要掌握锐角三角函数的相关内容，包括其概念、特殊值求法，并能合理应用相关知识解决问题.同时近几年各地中考出现了考查锐角三角函数的试题，问题类型多样、考向各异、难度适中，下面进行考向分析，举例探究解题思路.

关于锐角三角函数的考查举例

分析各地考题，锐角三角函数的考查内容主要集中在其基本概念、模型构建和实际应用三方面，而实际考查时常借助直角三角形，融合特殊网格，侧重实际应用，综合抛物线等知识背景，下面进行深入探究.

考向一：借助直角三角形考查其概念

锐角三角函数编排在勾股定理内容之后，是对直角三角形边角关系的进一步探究.锐角三角函数的概念是依托直角三角形而构建的，中考常结合几何图形来考查其概念，在实际解析时需要充分利用直角三角形的特性.

例1  （2019年江苏省淮安市中考卷第16题）如图1所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP=______.

解析  求∠HAP的正切值需要将其放在直角三角形中，由于∠HAP所在的△APH为一般三角形，无法直接构建锐角三角函数的比值关系，需要进行等角转化.

连接BP，与CH的交点为点E.△CBH折叠后得到了△CPH，由折叠特性可知PB⊥CH，PE=BE.进一步分析可知∠APB=90°，于是有AP∥CH，所以∠HAP=∠CHB.在Rt△CHB中，BC=2，HB=■，所以tan∠CHB=■=■，即tan∠HAP=■.

评析  上述求锐角的正切值，利用两线平行的性质实现了等角转化，从而将所涉角度转化到直角三角形中.等角转化的途径有很多，比如相似转化、全等转化等.

考向二：融合网格考查其拓展变式

网格是几何的重要表达形式，可融合线段长和空间几何关系，结合三角函数可以综合考查学生观察分析、几何特性提取等技能，其问题类型具有一定的创新性.实际求解时需要把握几何特性，合理添加辅助线构建模型.

例2  （2019年山东省中考模拟题）如图2，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D均位于这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD=______.

解析  本题目以网格为背景求∠AOD的正切值，需要充分利用正方形的特性.而∠AOD的顶点位置较为一般，不利于构建直角模型，需要进行等角转化.

连接BE，与CD的交点为点F，分析可知BF=CF，同时BE⊥CD，则可以借助对顶角将∠AOD转化到Rt△BFO中.分析可证△ACO∽△BKO，则KO ∶ CO=BK ∶ AC=1 ∶ 3，所以KO=OF=■CF=■BF.在Rt△BFO中，tan∠BOF=■=2，即tan∠AOD=2.

评析  上述三角函数问题的特点是融合了网格，对于网格需要充分利用其中的两大条件：一是网格的几何特性，如正方形网格的四边相等，对角线垂直平分等，二是网格问题一般会给出图形的边长，实则可求其中的特殊线段长.

考向三：应用视角下考查模型构建

利用锐角的三角函数解决实际问题是其重要的应用考向，实则就是解直角三角形.问题常结合仰角、俯角、坡度、方位角等，求解时需要合理构建数学模型，利用勾股定理和三角函数.

例3  （2019年江苏省徐州市中考卷第15題）如图3所示，无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°.若无人机的飞行高度AD为62 m，则该建筑的高度BC为______.

（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）

解析  本题目主要考查直角三角形和三角函数知识，需要理解仰角和俯角的定义，然后在图形中添加辅助线来构建模型.

过点A作BC的垂线，垂足为点E，则EC=AD=62 m，在Rt△AEC中，tan∠EAC=■，则AE=■≈200. 在Rt△AEB中，已知∠BAE=45°，则BE=AE=200 m，所以BC=BE+CE=262 m，即该建筑的高度BC为262 m.

评析  上述求建筑物的高度，给出了观察点距建筑物的水平距离，以及仰角和俯角，求解时在直角三角形中利用三角函数完成了线段推导，这也是求解应用性问题的常用方法.另外还常利用三角函数来解析坡度、航行位置等问题.

考向四：函数视角下考查综合能力

抛物线是初中数学的重点内容，也可综合抛物线来考查三角函数知识，问题求解时同样离不开构建直角三角形，其特殊之处在于其中的线段长需要结合点坐标，利用抛物线的特性来确定点位置.

例4  如图4所示，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于点A和B，与y轴相交于点C（0，2）.现连接AC，若tan∠OAC=2，试回答下列问题.

（1）求抛物线所对应二次函数的解析式;

（2）分析抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APC=90°？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

解析  本题目为二次函数综合题，其中融合了抛物线与三角函数，求解时需要充分利用三角函数来求线段长.

（1）已知点C坐标，还需求出点A的坐标，只需求OA的长即可.由点C坐标可知OC=2，又知tan∠OAC=2，则可在Rt△OAC中构建模型，即tan∠OAC=■=2，所以OA=1，则点A（1，0），联系点A和C的坐标可求抛物线的解析式为y=x2-3x+2.

（2）该问属于存在性探究问题，过点C作对称轴l的垂线，垂足为点D.分析可知直线l： x=■，由于∠APC=90°，则tan∠PAE=tan∠CPD，所以■=■，从而可得PE=■或■，所以点P的坐标为■，■或■，■.

评析  上述例题为抛物线与三角函数相结合的综合题，所求两问均充分利用了三角函数，其中第（1）问直接利用直角三角形中的三角函数完成线段求解，第（2）问则通过等角的三角函数构建了方程，确定了关键线段的长.上述所呈现的也是该类问题中三角函数知识的常用方法，解析问题时可合理参考，構建思路.

关于锐角三角函数的学习建议

上述是中考中三角函数常见的问题类型，分析可知在考查时既注重基本概念，又关注知识融合，而合理构建几何模型是问题突破的关键，下面提出几点建议.

1. 追本溯源，关注问题核心

新课标确定了三角函数的考查要求：①探索认识特殊锐角三角函数值，②掌握一般锐角三角函数的转化方法，③灵活运用三角函数来解直角三角形.其中提出了理解概念、构建模型、应用拓展三大学习要求，实则也是中考中三角函数的考查内容.因此在实际学习时，需要学生深入理解锐角三角函数的概念，能够合理利用直角三角形来构建比值模型，同时引导学生掌握等角三角函数转化的方法技巧，形成一般问题的突破思路.

2. 知识综合，关注知识联系

中考对三角函数的考查侧重于知识综合，如融合网格、联系实际、结合函数曲线等，呈现的均是三角函数的知识联系点，涉及直角三角形、勾股定理、相似三角形、曲线图像等知识，而问题的求解需要综合关联知识，合理构建思路.因此学生在学习时除了需要打牢基础外，还需注重知识的归类总结，关注知识联系，构建完整的知识体系.而对于其中的知识联系点，教师可以设置相关的问题，通过针对性训练来巩固.

3. 渗透思想，重视数学思维

综合性问题的求解过程同样也是数学思想的构建过程，如上述三角函数综合题的突破中，利用转化思想来实现等角转化，结合模型思想来构建数学模型，通过数形结合完成了问题的高效作答，其中涉及数学的转化思想、模型思想、数形结合思想等.思想方法是解题的核心所在，也是数学的精华，对于提升学生的解题思维有着极大的帮助，因此教师在实际教学中需合理渗透数学思想，引导学生感悟思想方法的内涵，充分掌握利用思想方法探究问题的思路，拓展学生思维，培养学生的核心素养.

总之，锐角三角函数是初中数学的重点知识，在教学中需要对其考查方向和问题类型加以探析，引导学生掌握构建模型求解三角函数的方法.同时，要充分突出锐角三角函数的工具特性，提升学生求解综合问题的能力.