n 类相依保险业务下的最优再保险和投资

杨 鹏， 陈 鑫

(1- 西京学院理学院，西安 710123; 2- 西安交通大学数学与统计学院，西安 710049;3- 人民日报海外网，北京 100733)

1 引言

保险公司通过再保险可以减少理赔风险，通过在金融市场上投资可以增加财富，因此再保险和投资对保险公司来说非常重要.近年来，国内外很多学者研究了最优再保险和投资问题.他们研究的优化准则主要包含：最大化终值财富的期望效用，最小化破产概率和最大化终值财富的均值同时最小化终值财富的方差(即，均值-方差准则).因为均值-方差准则是双目标优化问题，通过均值可以衡量保险公司的收益，通过方差可以直接衡量保险公司的风险，因此，均值-方差准则越来越受到学者们推崇.

均值-方差准则首次由美国经济学家和数学家Markowitz 在1952 年提出[1].Markowitz用均值-方差准则研究了投资组合问题，由于他对该问题的卓越研究，获得了1990 年诺贝尔经济学奖.Markowitz 考虑的模型是离散时间的，Zhou 和Li[2]把均值-方差投资组合问题推广到了连续时间.自从Zhou 和Li[2]之后，很多学者把连续时间均值-方差准则应用到再保险和投资问题中.B¨auerle[3]较早的考虑了均值-方差准则下的最优再保险问题.Bai 和Zhang[4]在Cram´er-Lundberg 和扩散逼近两种保险模型下，研究了均值-方差准则下的最优再保险和投资问题.杨鹏等[5]在Poisson-Geometric 保险模型下，研究了均值-方差准则下的最优再保险和投资问题.Liang 等[6]在保险市场和金融市场相依下，研究了均值-方差准则下的最优再保险和投资问题.Bi 等[7]在两个相依类的保险业务中，研究了均值-方差准则下的最优再保险和投资问题.杨鹏[8]在Ornstein-Uhlenbeck 模型中，研究了均值-方差准则下的最优再保险和投资问题.Sun 和Guo[9]在风险资产价格满足Cox-Ingersoll-Ross 模型时，研究了均值-方差准则下的最优再保险和投资问题.Bi 等[10]在Markov 链调制的保险市场和金融市场上，研究了均值-方差准则下的最优再保险和投资问题.

上述文献在均值-方差准则下得到的最优再保险和投资策略只在初始时刻是最优的，随着时间的进行策略则不是最优的了，文献中把这种策略称为预先承诺(precommitment)的策略.Strotz 在1955 年[11]首次使用博弈论的思想研究了时间不一致性，他指出时间不一致的问题可以通过预先承诺的策略和时间一致的策略两种方法求解.在保险实务中，保险公司每天的偏好有可能是不同的，但是在很多情形下，他们追求的最优策略基本保持一致.因此，研究时间一致的策略在保险实务中具有很重要的现实意义.Bj¨ork 和Murgoci[12]基于博弈论的思想，对于一个通常的Markov 过程提出了求解时间一致策略的方法.Bj¨ork 和Murgoci[12]之后，近十年来有很多学者在时间不一致的均值-方差问题中，研究了时间一致的再保险和投资策略.Li 等[13]在Heston 模型下，研究了时间一致的再保险和投资策略.Lin 和Qian[14]在CEV 模型下，研究了时间一致的再保险和投资策略.Yang[15]在保险市场与金融市场相依情形下，研究了时间一致的再保险和投资策略.Wang 等[16]在保险模型和金融市场模型的参数都是随机的情形下，研究了时间一致的再保险和投资策略.Zhu 等[17]对于两个保险公司，在考虑他们的相对业绩情形下，研究了时间一致的再保险和投资策略.Yang 等[18]在联合比例和超额损失再保险下，研究了时间一致的再保险和投资策略.

本文剩下的结构如下：第2 节给出了保险模型和金融市场模型，以及后文中用到的一些假设.第3 节，给出了时间不一致的均值-方差问题.第4 节，首先建立了推广的HJB 方程，进而通过求解推广的HJB 方程，得到了最优时间一致的再保险和投资策略以及值函数的显式解.第5 节，通过数值实验解释了模型参数对最优时间一致的再保险和投资策略的影响，并分析了这些影响背后的经济意义.最后一节，总结了全文.

2 模型和假设

本节我们给出保险模型和金融市场模型以及一些假设.为了使数学上更为严格，设(Ω，F，P)是完备的概率空间，它满足通常条件，也就是F = {Ft，t ∈[0，T]}是右连续的且关于P 是完备的，T ＞0 是再保险和投资的终止时间，Ft是到时刻t 为止，保险公司所获取的所有信息.本文不考虑交易费用和税收，所有资产都是无穷可分的.

2.1 保险模型

我们假设一个保险公司从事n ≥2 类相互依赖的保险业务，后文中称为保险业务1，2，··· ，n.Zij(i = 1，2，··· ， j = 1，2，··· ，n)是相互独立、同分布、取正值的随机变量，它代表保险业务j 的第i 次理赔额.记Zij的通常随机变量为Zj，它的一阶和二阶矩分别记作E(Zj) = μ1j和E[(Zj)2] = μ2j.基于这些设定，到时刻t 为止，保险业务j 的累积理赔额可表示为

注2n 类保险业务的相依性，通过共同的泊松过程N(t)来刻画.模型(1)是带跳的，Sun 等[19]用几何布朗运动逼近模型(1)，也就是说Sun 等[19]用连续的模型来近似带跳的模型.他们这样处理有一些局限性，正如我们在引言中分析的，考虑带跳的累积理赔过程更符合实际.据我们所知，本文首次研究了n 类相依保险业务带跳的情形.

保险公司为了规避理赔风险，它寻求一家再保险公司进行再保险.假设保险公司采取比例再保险，它的基本思想是：对于保险业务j 的第i 次理赔额Zij，保险公司支付aj(t)Zij，剩余的理赔额(1-aj(t))Zij由再保险公司赔付，这里aj(t) ∈[0，1]是保险公司的自留比例，称为自留额.由于再保险公司为保险公司赔付了理赔额(1-aj(t))Zij，作为补偿，保险公司向再保险公司支付一定的费用，记为(1-aj(t))cj.cj＞0 是完全进行再保险时，保险公司向再保险公司支付的费用.这里假设cj＞¯cj，即对于每类业务j，再保险要比保险贵，这在保险实务中是有意义的，否则保险公司存在套利行为.记a(t) = (a1(t)，a2(t)，··· ，an(t))，则考虑再保险后，保险公司在时刻t 的盈余过程Xa(t)满足下面的微分方程

2.2 金融市场

保险公司除了再保险，还可以在金融市场上进行投资.金融市场由一个无风险资产和n 个相依的风险资产组成.在时刻t，无风险资产的价格为B(t)，B(t)满足微分方程dB(t) = rB(t)dt.这里r ＞0 为无风险资产的利率.在时刻t，风险资产i， i =1，2，··· ，n 的价格为Si(t)，Si(t)满足如下随机微分方程

为了获得最优的再保险和投资策略，下面定义可行的再保险和投资策略集.

定义1一个策略u(·)=(a1(·)，a2(·)，··· ，an(·)，π1(·)，π2(·)，··· ，πn(·))称为可行的，如果u(·)关于流Ft是可料的，且对于每个t ≥0 过程u(·)满足条件：

(iii) 随机微分方程(4)对于u(t)有唯一的强解Xu(t)；

(iv) 对于任意的ϱ ≥1， E[sups∈[t，T]|Xu(s)|ϱ]＜+∞.

我们把所有可行的策略记为U.

3 时间不一致的均值-方差问题

传统的均值-方差问题如下

这里

γ ＞0 表示保险公司的风险厌恶参数.该问题只给出了最初时刻的优化目标，所以不是动态的.目标函数在将来有可能变化，因此研究当目标函数随着时间改变时的最优化问题更有意义.本文研究如下动态的目标函数

这里

问题(5)中含有方差项Vart，x[Xu(T)]，这导致期望的迭代性不满足，因此贝尔曼最优性原理不成立，所以该问题是时间不一致的.Strotz[11]指出，时间不一致的问题有两种求解方法：一是通过求解预先承诺的策略求解时间不一致的问题，该策略是时间不一致的，例如，Zhou 和Li[2]使用了该方法；另一种方法是通过求解时间一致的策略求解时间不一致的问题，例如，Bj¨ork 和Murgoci[12]使用了该方法.人们的偏好可能会随着时间的改变而改变，然而大多数情况下人们希望同一时刻的最优策略，在不同的时间所做的决策是一致的.因此，本文通过求解时间一致的策略求解时间不一致的问题(5).时间一致策略更精确的表述是：对于某固定的时刻s，假设t ＞s，若在时刻s 获得最优策略u(t)使得问题(5)成立；那么到达时刻t 时，该策略u(t)仍是问题(5)的最优策略.

本文与Bj¨ork 和Murgoci[12]相似的，从博弈论的视角寻求时间一致的再保险和投资策略.具体来说，我们把该问题视为一个非合作的博弈，在每个时刻有一个博弈者.未来时刻t 的博弈者，可以被视为当前时刻保险公司在未来时刻t 的化身.与Bj¨ork 和Murgoci[12]相似的，我们给出如下均衡策略和均衡值函数的定义.

则u*(t)称为均衡策略，相应的均衡值函数为V(t，x)=V(t，x，u*).

为了下文中书写方便，我们定义一个记号D1，2([0，T]×R).它是由满足下列条件的全体φ(t，x)组成：

(i) φ(t，x)和它的导数φt(t，x)， φx(t，x)，φxx(t，x)在[0，T]×R 上连续；

(ii) φ(t，x)和φx(t，x)满足多项式增长条件，即存在两个正常数κ 和p，使得|φ(t，x)|≤κ(1+|x|p)和|φx(t，x)|≤κ(1+|x|p).

为了求解问题(5)，我们利用随机控制和随机动态规划技术建立如下的验证定理.类似的定理在文献中广为使用，这里证明方法类似于Li 等[13]中的定理1 和Yang[15]中的定理4.1，我们这里不再给出证明.

定理1(验证定理) 假设V(t，x)∈D1，2([0，T]×R)和h(t，x)∈D1，2([0，T]×R)是两个实函数，它们满足如下推广的HJB 方程.

(i) 对于任意的(t，x)∈[0，T]×R，有

这里Vt和Vx分别表示V(t，x)关于t 和x 的一阶偏导数，Vxx表示V(t，x)关于x 的二偏阶导数.

(ii) 对于任意的(t，x)∈[0，T]×R，有

这里ht和hx分别表示h(t，x)关于t 和x 的一阶偏导数，hxx表示h(t，x)关于x 的二阶偏导数，u*(t)是(8)左端sup{···}内函数的最大值点.

(iii) 对于x ∈R，有

4 时间一致的再保险投资策略

本节的目的是，通过上一节的验证定理，求得问题(5)的最优时间一致的再保险和投资策略.为了得到最优时间一致的再保险和投资策略，我们首先给出以下三个引理.

引理1值函数V(t，x)和终值财富的均值h(t，x)在均值-方差框架下，是关于x 的一次函数，它们有下面的形式

该引理的证明类似于Yang 等[18]中的引理4.1，这里不再给出证明.

引理2令

则下面的方程组

这里Δj定义为

证明 方程组(13)可以等价的表示为

因为

所以，方程组(15)等价于

方程组(16)两端同时乘以μ1j，并对j 从1 到n 求和得到

因为Φn＞0，所以由(17)式得到

把(18)式代入(16)式，我们得到方程组(13)的唯一解，唯一解由(14)式给出.

类似于引理2，我们可以得到下面的引理3.

引理3下面的方程组

这里Γi定义为

利用定理1 和引理1 至引理3，我们得以得到问题(5)的解.

定理2对于问题(5)，最优时间一致的再保险策略为

最优时间一致的投资策略为

最优值函数为

证明 由引理1，V(t，x)和h(t，x)关于t 求一阶偏导数，关于x 求一阶和二阶偏导数，可以得到

把(11)，(12)式和(22)式代入(8)式，化简后得到

这里

联合引理2 和定理2，我们容易得到，保险公司对于保险业务j 是否采取再保险，以及把多少比例的保险业务分给再保险公司的准则.

性质1假设保险公司经营n 类保险业务，当

保险公司会对保险业务j 全部进行再保险；当

保险公司不会对保险业务j 进行再保险；当

保险公司会对保险业务j 部分进行再保险，即把

比例的保险业务j 分给再保险公司.

联合引理3 和定理2，我们容易可以得到保险公司是否在风险资产i 上投资的准则.

性质2当金融市场存在n 种风险资产时，只有当Γi＞0，才会在风险资产i 上进行投资.

下面，给出我们模型的两种特殊情况.

如果保险公司只从事一类保险业务，不妨假设只从事保险业务1，由定理2 可以得到下面的推论1.

推论1如果保险公司只从事保险业务1，则保险公司最优时间一致的再保险策略为

如果保险公司只投资1 个风险资产，不妨假设只投资风险资产1，由(20)式和定理2 可以得到下面的推论2.

推论2如果保险公司只投资风险资产1，则保险公司最优时间一致的投资策略为

5 敏感性分析

本节我们通过一些数值实验，分析模型参数对最优时间一致的再保险策略和投资策略的影响.不失一般性，假设保险公司从事两类保险业务，在两个风险资产上投资.下文中，如果没有特殊说明，模型参数由表1 给出.

表1 数值实验中模型参数的取值

接下来，我们首先分析模型参数对最优时间一致的再保险策略的影响.

保险公司会把保险业务1(或保险业务2)全部留给自己，而不采取再保险.

图1 λ 和λ1 对a*1(t)的影响

图2 λ 和λ2 对a*2(t)的影响

下面，分析风险资产的价格参数对最优时间一致的投资策略的影响.

图3 μ1 和μ2 对的影响

图4 μ1 和μ2 对的影响

最终，图5 和图6 解释了风险资产的波动率σ1和σ2对π*1(t)和π*2(t)的影响.从图5 可以看出，随着σ1增加，保险公司减少在风险资产1 上的投资资金，增加在风险资产2 上的投资资金.这是因为，随着σ1的增加，风险资产1 的投资风险增加，而风险资产2 的投资风险不变，保险公司为了规避风险，逐渐转移到在风险资产2 上进行投资.图6 阐述了相似的经济意义.

图5 σ1 和σ2 对的影响

图6 σ1 和σ2 对的影响

进一步分析图3 至图6，我们会看到，当只有一个风险资产的平均回报率增加时，保险公司会逐渐把资金集中投资在这个风险资产上；当只有一个风险资产的波动率增加时，保险公司会逐渐把资金集中投资在其它风险资产上.根据性质2，我们可以判断保险公司是否在某个风险资产上进行投资.

6 总结

本文在保险公司经营n 类相依保险业务下，研究了最优时间一致的再保险和投资问题.保险公司的目标是在时间不一致的均值-方差问题中，求得时间一致的再保险和投资策略.基于博弈论的思想，利用随机控制和随机动态规划技术，我们建立了推广的HJB 方程，通过求解推广的HJB 方程得到了时间一致的再保险和投资策略以及相应值函数的显式解.最后，通过数值实验，解释了模型参数对最优时间一致再保险和投资策略的影响.通过理论分析和数值实验，我们有以下发现：

(i) 我们得到了保险公司对于每类保险业务是否进行再保险，以及把多少比例的保险业务进行再保险的准则；

(ii) 与自身的理赔因素相比，当保险业务之间的理赔相依性增加时，保险公司会保留更少的保险业务；

(iii) 我们得到了保险公司是否在某个风险资产上投资的准则.