判断函数零点个数的三种方法

2020-11-04 04:48戴彭晴
中学生数理化·高一版 2020年10期
关键词:结合法解方程交点

戴彭晴

对于函数y=f(x)(x∈R),我们把方程f(x)=0 的根叫作函数y=f(x)的零点。下面归纳几种求函数零点的方法,供大家学习与参考。

方法一:解方程法

解:函数f(x)的定义域是(3,+∞)。由f(x)=0,可得x=2 或x=1,但1∉(3,+∞),2∉(3,+∞),故函数f(x)没有零点。

评析:若函数f(x)对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点。

例2 求函数f(x)=ax2-x-1的零点。

评析:求函数f(x)=ax2-x-1 的零点,要对系数a 进行分类讨论。

方法二:零点存在性定理法

评析:利用零点存在性定理,不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质,才能确定函数的零点个数。

方法三:数形结合法

例4 函数f(x)=x-3+lnx 的零点个数为____。

解:令f(x)=x-3+lnx=0,则lnx=3-x,在同一平面直角坐标系内画出函数y=lnx 与y=-x+3的图像,如图1所示。

由图可知,函数y=lnx 与y=-x+3的图像只有1个交点,即函数f(x)=x-3+lnx 只有1个零点。

解:求函数y=f(x)+x-4 的零点个数,即求函数y=-x+4与y=f(x)的图像的交点的个数。画出函数y=-x+4与y=f(x)的图像(图略)。由图可知,函数y=-x+4与y=f(x)的图像有2个交点,即函数y=f(x)+x-4的零点个数为2。

评析:数形结合法是求函数零点个数的常用方法。这种方法,直观明了,但需要作出准确的图像。

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