初中数学变式教学在习题课中的案例分析

郑玉瑜

（福建省宁德市霞浦县松城初级中学，福建宁德 355100）

引 言

变式教学是新课程改革的又一教学创新，能够更好地满足新课程改革的要求[1]。变式教学是指在不改变教学大纲及教材内容的前提下，通过变式对初中数学知识相关问题的类型、形式等进行思路转化的过程。变式教学是对传统教学模式的创新，是摆脱应试教育下机械式做题法束缚的又一次教育改革。学生在变式学习方法下进行习题练习时能够发现在“多变”的命题下“不变”的属性，更好地掌握解题方法的规律性，使解题思路更加清晰，从而避免因反复机械做题而形成思维定式，提高对数学知识的归纳、整理和总结能力。

一、现代变式教学方法存在的问题

由于教育体制、发展趋势等原因，应试教学方法仍然是当前具有主导性质的教学模式，教师因此对变式教学存在一定的误解，认为将习题中的数字、变量、题目文字稍加更改、变换位置就是变式教学。在这样的情况下，教师即使在课堂上使用了变式教学也是粗浅的、简单的。教师对变式教学过于简单的理解，让初中数学课堂练习的训练模式仍离不开机械式的填充。题海模式下的学生逐渐转变为“答题机”，只为了考试而学习，分数成为学生唯一追求的目标，而教师“教书育人”的初衷也逐渐被执着追求班级分数所取代。

二、变式教学对于初中数学的教学意义

（一）提高学生在思维运用上的延伸性

发散性思维是在研究数学问题的过程中逻辑思维上的延伸和扩展，而变式教学对培养初中学生数学发散性思维具有重要作用。教师在初中数学课堂中运用变式法，能够帮助学生认识最基本的数学思维属性，并以此为出发点，延伸数学思维，引导学生在掌握某知识点的本质属性后，向与其相关联的知识点进行顺利过渡，并形成连贯的知识链条和思维脉络，最终完成学生在思维上的横向和纵向延伸。

（二）保持学生解题思路的活跃性

一道数学题，虽然答案只有一个，但解题方法可能并不唯一。保持思维的活跃性在于以多种角度思考问题、解决问题，在多重解题思路中，寻找最高效、易懂的一种方式，这与学生掌握知识的扎实程度有一定的关系，不是依靠大量、灌输式的做题能够实现的，而是需要学生在习题训练中自己不断总结、归纳。变式教学法下的初中数学中，学生对知识的理解与记忆是通过寻找规律来完成的，找到规律就等于找到了解题的核心，从而在解题过程中熟练、灵活地运用概念、定义、法则和公式等。一道蕴含多种解题方法的命题能够让学生保持思维活跃性，使学生通过对比找出最佳解题方案。

（三）强化学生解答问题的能力

数学题的题型无论如何变化、变量数值如何更换、文字描述如何设置迷惑陷阱，只要其解题规律不变，学生便能发现题中的“本源”属性，从而排除干扰条件，最终找出方法完成解题。学生在变式学习法下根据思维脉络，找到不断变化的命题中不变的规律，在脑海中形成由本质属性构成的知识框架，进而“以不变应万变”，提高自己的解题能力。

三、变式教学在初中数学习题课上的具体应用

（一）在数学概念类习题上的应用

数学概念是以文字表述的形式对数学知识的总结与诠释，但一些教师和学生不重视数学概念，认为其就是对数学名词的解释。然而，数学概念是学习数学知识的基础，学习某一节内容最先认识和学习的就是数学概念。很多数学问题都是围绕着数学概念中的某一知识点、某一性质命题的。同时，数学概念也是数学知识的根源所在，无论数学知识如何延伸、扩展，都无法脱离数学概念中的本质属性，数学概念是实现数学猜想、解决数学问题的核心。因此，在开展习题课时，教师要充分发挥变式教学的作用，根据数学概念中涉及的知识点和数学性质命题，帮助学生完成概念习题的专项训练。

例1：“分式与分式方程”

分式概念解读：将整式用A 与B 表示，并且有字母存在于B 中，则称为分式。从概念中可以得出三个基本性质：第一，分式中的分子（A）和分母（B）都是整式；第二，分母（B）中含有字母；第三，想要分式成立，则分母（B）不能为0。笔者设计的分式练习如下。

例题1：在下列有理式中找出分式（ ）。

例1 变式：下列各式中哪些不是分式（ ）。

例题2：从下列方程中找出y的分式方程（其中c为常数）（ ）。

例2 变式：下列方程式中不为y 的方程式的有（其中c为常数）（ ）。

例2：“位置与坐标”

概括分析平面直角坐标系：由两个具有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，基于其图形分析可知，平面上的任意点只对应一个有序实数对；相反，任意一个有序实数对都会与坐标系中唯一一点相对应。笔者设计变式习题练习如下。

例题1：平面直角坐标系中P（-5，2）在第（ ）象限；Q（-5，-5）在第（ ）象限。

例1 变式一：平面直角坐标系中M（3+y，-3）在第（ ）象限。

例1 变式二：如果N（4-x，x）在第二象限，那么x 值的范围是什么。

例1 变式三：如果M（z+x，y）在第三象限，那么N（z，1）在第几象限。

轴对称与坐标变化：x轴对称的两点坐标为（x，y）和（x，-y）；y轴对称的两点坐标为（x，y）和（-x，y）；原点对称的两点坐标为（x，y）和（-x，-y）。笔者设计例题及变式如下。

例题2：点N（6，2）的x轴对称点坐标为（ ），y轴对称点坐标为（ ），原点对称点坐标为（ ）。

例2 变式一：将点M（2，3）在平面直角坐标系中向左平移4 个单位长度后的坐标是（ ），点M（2，3）向下平移5 个单位长度后的坐标是（ ）。

例2 变式二：分别求出点P（2，-8）到x轴和y轴的距离。

（二）在公式上的应用

数学公式法则构成了数学运算的基础，也是解决数学问题的计算依据，因此，在数学公式上运用变式教学，将本源数学公式通过交换、结合转化成其他若干个衍生公式。这能够辅助教师开展数学知识的延伸性教学，实现课程内容的合理规划与整合，引导学生从多个方向思考问题。

例1：“平行四边形——多边形的内角和与外角和”

多边形的边数为n，那么n边形的内角和为：（n-2）×180°，而n边形的外角和均为360°。

笔者设计变式习题如下。

变式习题一：一个n边形其中一个内角为150°，求n的值。

变式习题二：m边形的内角和720°，求m值。

变式习题三：a边形的内角和是外角和的2 倍，求a值。

变式习题四：x边形的外角和与内角和相加是630°，求x值。

变式习题五：y边形的其中一个外角小于60°，求y值。

例2：“实数——二次根式”

变式习题二：a为怎样的实数能够让以下二次根式有意义。

变式习题三：m和n均为实数，已知，计算

（三）在复习习题训练上的应用

复习即回顾所学内容，旨在加深与巩固记忆的知识内容，复习在教学全流程中发挥着总结与归纳的作用。传统教学模式下，教师在开展初中数学复习性习题训练时，只要求学生重复、机械地解答问题。这与素质教育的初衷相违背。教师应充分利用变式教学的特点，将相关联的、有区别的、易混淆的、难记忆的知识要点、公式法则、概念定义等重新拆分、整理、归纳、整合，进而形成清晰的复习脉络，并将复习脉络与复习方法传授给学生，引导学生按照复习脉络进行有条理的复习，使学生在数学知识的掌握与运用上形成记忆链条，帮助学生提高记忆速度、强化理解水平及牢固掌握知识。

例1：“三角形的证明——等腰三角形”

在复习等腰三角形的知识时，教师可将等腰三角形、等边三角形、中垂线等知识进行串联复习，按照定义、性质、判定方法将知识点加以联系与区分，具体习题变式如下。

已知等腰三角形的其中两条边长分别为6 厘米和10 厘米，求等腰三角形的周长。

变式习题一：某等腰三角形中一腰上的中线将三角形分为两部分，其周长分别是13 和16，请计算等腰三角形腰的长度。

变式习题二：某三角形的三条边长为x，y，z，并已知等式x+y=z+y，问这是什么三角形。

结 语

变式教学法通过不断改革与完善，已在初中数学教学领域中广泛应用，在帮助学生提高思维能力上具有积极的促进作用。实践证明，变式教学与应试教学形成鲜明对比，其灵活多变的解题思路和开阔的思维模式是机械式做题模式无法比拟的。教师应通过分析现代变式教学方法存在的突出问题，研究变式教学对初中数学的意义所在，探索变式教学在初中数学习题课上的有效应用策略，以此构建高质与高效的初中数学课堂。