一种基于半符号的PSWFs调制信号PAPR抑制方法

张 杨，顾祥岐，杨路铖

（1.海军航空大学，山东烟台264001；2.91033部队，山东青岛266000）

椭圆球面波函数（Prolate Spheroidal Wave Functions，PSWFs）集 是Bell 实 验 室Slepian 和Pollak 于1961年定义的一类特殊函数的集合[1]，其具有完备性、奇偶性、双正交性、频谱可控性以及在时频域具有最佳能量聚集性等优良特性[2-4]。基于上述优良特性，PSWFs被广泛应用于通信系统[5-7]、雷达[8]、流体力学[9]、目标探测[10]、滤波[11]等领域。其中，在无线电通信领域，专利“非正弦时域正交调制方法”公布了一种基于PSWFs的非正弦时域正交调制方法[12]，采用时域波形叠加、频域频谱交叠的方式，有效提高了频带利用率。但PSWFs 调制信号峰均功率比（Peak-to-Average Power Ratio，PAPR）较高，应用于卫星通信系统时，易受PA非线性特性影响，造成信号非线性失真，从而降低系统性能。

针对此问题，考虑到调制信号PAPR 与并行路数密切相关，并行路数越小，调制信号PAPR 越低；并行路数越多，调制信号PAPR 越高，本节结合PSWFs 脉冲信号的奇偶特性，提出了一种基于半符号PSWFs调制信号PAPR抑制方法。该方法在发射端仅传输部分波形，用以降低调制信号PAPR；在接收端，利用函数良好的奇偶特性，对信号进行恢复，不影响系统误码性能。康家方等[13]基于正余弦函数的奇偶特性，提出了一种基于半符号的OFDM 调制方式：在发射端，仅发送半个周期调制信号；在接收端，利用调制信号的奇偶特性，将信号进行恢复。但由于该方法发射端调制信号仅能为奇函数或偶函数，频带利用率较原方法没有提高。现在抑制PAPR 的方法有很多，但仍然存在一些问题[14-20]。

受上述方法启发，引入半符号的思想，提出了一种基于半符号PSWFs 调制信号PAPR 抑制方法。该方法在发射端仅传输部分波形，有效降低了并行PSWFs信号路数，有效降低了椭圆球面波调制信号峰均功率比。在接收端，利用函数良好的奇偶对称性，对信号进行重构、检测和解调，保证系统误码性能与传统非正弦时域正交调制方法相同。

1 基于半符号PSWFs 调制信号PAPR 抑制方法基本原理

基于信号峰均功率比与并行信号路数密切相关、椭圆球面波信号具有奇偶对称性的特点，图1 给出基于半符号PSWFs 调制信号PAPR 抑制方法基本原理框图。在发射端，对奇对称调制信号和偶对称调制信号分开发送，前半周期发送奇对称调制信号，后半周期发送偶对称调制信号，调制信号的并行支路数降低一半。在接收端，利用调制信号奇偶性，恢复原调制信号时域波形。具体步骤如下：

1）在发射端，截取奇对称调制信号的前T/2 周期信号，作为发射信号的前T/2 信号；截取偶对称调制信号的后T/2 周期信号，作为发射信号的后T/2 信号，如图1 a）所示；

2）信号经过通信系统其他模块，进行信道传输；

3）在接收端，截取接收调制信号前T/2 信号，利用奇函数的对称特性，重构奇对称调制信号；截取接收调制信号后T/2 信号，利用偶函数的对称特性，重构偶对称调制信号，如图1 b）所示；

图1 基于半符号PSWFs调制信号PAPR抑制方法基本原理Fig.1 Basic principles of PAPR suppression method based on half-symbol PSWFs modulation signal

4）对重构信号进行解调。

2 系统性能分析

本节从调制信号峰均功率比、系统误码性能2 个方面，对基于半符号PSWFs 调制信号PAPR 抑制方法的系统性能展开分析。

2.1 调制信号峰均功率比分析

根据基于PSWFs 的非正弦时域正交调制模型[1]，在发射端，对于多路叠加而成的PSWFs时域正交调制信号，在第n 个码元时间内生成的调制信号，可表示为：

式（1）中：Ts为码元周期；M 为并行调制路数；φi(t)为第i 路PSWFs 脉冲；di为第n 个码元时间内第i 路的调制数据。

由式（1）可知，对于由多路PSWFs 脉冲信号叠加而成的调制信号，易产生较大峰值，调制信号PAPR较高，易受到PA非线性特性影响，导致PSWFs脉冲组间良好正交性下降，降低系统误码性能。

由基于半符号PSWFs 调制信号PAPR 抑制方法基本原理可知，其在第n 个码元时间内生成的调制信号，可表示为：

对比式（1）与式（2）可知，所提方法与原时域正交调制方法相比，调制信号的并行路数可以降低一半，这意味着这所提方法调制信号具有更低的峰均功率比。

2.2 系统误码性能分析

在接收端，利用信号奇偶对称特性，利用半个符号周期调制信号，构建整个符号周期的调制信号，并对调制信号进行检测、解调。下面对奇对称调制信号的构建、检测等相关问题进行说明。重构的奇对称调制信号可以表示为：

式（3）中：n(t)为加性高斯白噪声，均值为0，方差为δ2。

PSWFs脉冲间具有良好正交性，利用相干解调对信号进行检测，则第2i-1支路检测量可以表示为：

式（4）中，

由于不同阶PSWFs脉冲间具有良好的正交性，假设PSWFs脉冲能量为ε，则式（4）可以化简为：

因此，第2i-1支路的检测量的均值、方差为：

由式（6）、（7）可知，在接收端第2i-1 支路，所提方法与原时域正交调制方法相比，信噪比（Signal Noise Ratio，SNR）相同。那么其归一化信噪比Eb/N0是否相同？由归一化信噪比定义可知：

同时，由式（1）、（2）易知，所提方法与原时域正交调制方法的信号功率，存在如下关系：

式（9）中：S半为所提方法PSWFs调制信号功率；S原为原时域正交调制方法的信号功率。

通过上述分析可知，基所提方法与原时域正交调制方法的归一化信噪比，存在如下关系：

通过上述分析可知，在理论上，所提方法与原时域正交调制方法相比，系统误码性能下降3 dB，发射功耗降低3 dB。因此，对于对系统误码性能要求较低的应用场景，所提方法具有低发射功耗、低PAPR的优势。那么，对于对系统误码性能要求较高的应用场景，应如何提高所提方法的系统误码性能？

考虑到所提方法的系统误码性能低的原因在于发射功率的降低，同时由式（9）、（10）可知，将所提方法发射信号功率提高一倍，即可实现归一化接收信噪比与原时域正交调制方法相同，即系统BER相同。

基于上述分析，令

对应发射端调制信号

此时，在理论上，所提方法与原时域正交调制方法相比，系统误码性能相同，发射功耗相同，但仍然具有PAPR较低的优势。

3 仿真分析

在Matlab 仿真环境下，从调制信号功率、调制信号峰均功率比、系统误码性能3 个方面对所提方法与原时域正交调制方法进行比较分析，验证理论分析的正确性。

3.1 仿真条件

1）调制信号：频带3～8 GHz，划分为4 个子波带，频谱交叠度为50%，时间带宽积c=4 Hz ⋅s，按能量聚集性由高到低，每个子波带取前2 阶PSWFs 脉冲，叠加生成非正弦时域正交调制信号，并对调制信号幅值进行归一化处理。

2）噪声类型：加性高斯白噪声。

3）调制方式：所提方法方案1对应方式，所提方法方案2对应方式。

3.2 仿真结果与分析

1）调制信号功率。图2 为走码个数为104个，原PSWFs时域正交调制信号与所提方法调制信号，功率比值的分布图。从实验仿真结果可知，功率比值均大于2，说明所提方法能够有效降低信号的发射功率（所提方法方案一）。但由于数值解法产生的PSWFs脉冲信号存在误差，以及对称点的选取，导致功率比值出现大于2的情况。

图2 信号功率比值Fig.2 Signal power ratio

2）调制信号峰均功率比特性。图3 a）为并行路数为8 路时，所提方法调制信号的互补累计分布函数（Complementary Cumulative Distribution Function，CCDF）特性曲线。其中，CCDF 定义为信号PAPR 超过某一门限的概率，用来衡量调制信号PAPR 统计特性。从实验仿真结果可知，所提方法调制信号PAPR略低于原时域正交调制信号，且随着CCDF 的增加，PAPR抑制性能不断提高。

图3 调制信号CCDF特性曲线Fig.3 CCDF characteristic curve of modulation signal

当频带为1～10 GHz，划分为8 个子波带，频谱交叠度为50%，时间带宽积c=4 Hz ⋅s，按能量聚集性由高到低，每个子波带取前4 阶PSWFs 脉冲，并行脉冲数为32时，所提方法调制信号的PAPR特性曲线可见图3 b）。从实验仿真结果可知，较并行路数为8 时，PAPR抑制效果有所提高，表明随着并行路数的增加，所提方法PAPR抑制能力逐渐提高。

3）系统误码性能。图4 为所提方法调制信号，经过AWGN信道，在接收端，采用相关解调的条件下，系统误码率特性曲线。从实验仿真结果可知，所提方法方案一的系统误码性能，与原时域正交调制方法相比，下降3 dB，但其发射功耗降低3 dB；所提方法方案二的系统误码性能，与原时域正交调制方法相同，与理论分析一致。

图4 系统误码特性曲线Fig.4 Characteristic curve of system bit error

4 结语

针对PSWFs 调制信号PAPR 较高的问题，考虑到调制信号PAPR 与并行路数密切相关。基于PSWFs脉冲信号的奇偶特性，将半符号的思想引入到信号PAPR 抑制，本文提出了一种基于半符号PSWFs 调制信号PAPR抑制方法。该方法能够在明显降低系统误码性能的前提下，有效降低信号PAPR，且随着并行传输PSWFs 信号路数增加，信号PAPR 降低程度不断增加。此外，本文所提方法能够为其他调制信号PAPR抑制提供一种新思路。如，正弦波信号时域波形在T/2n 周期内对称，即仅提取T/2n 周期内波形进行传输，在接收端利用奇偶对称信号仍旧能够恢复整个周期信号的调制信号，这将会更进一步降低并行传输的信号路数，抑制调制信号PAPR。