全概率公式教学探究

王江

摘 要：全概率公式具有广泛的应用和丰富的内涵.通过两个问题，从条件概率公式、乘法公式和概率的有限可加性入手，导出全概率公式的定义，挖掘全概率公式的内涵，找到应用全概率公式的关键所在是完备事件组，化解全概率公式的教学难点.

关键词：全概率公式;完备事件组

概率论是高职院校公共基础课《高等数学》中重要的一章，也是与生活最为密切相关的.全概率公式应该是从高中到大学在概率论中遇到的第一个难点和重点，因为全概率公式是以条件概率公式、乘法公式和概率的有限可加性为基础建立的，同时又是贝叶斯公式的基础.教材所给的定义和公式相对简单，一目了然，难在如何应用全概率公式解决实际问题，因此，在全概率公式的教学中，应重点引导学生去理解全概率公式的内涵.

一、实例引入，提出问题

新知识的产生必定以实际问题为背景，以已有知识为基础，全概率的学习可通过以下两个问题为出发点.

问题1 一个盒子中装有10个球，其中有4个白球，6个黑球，采取不放回抽样，每次取一个，求第二次取到白球的概率.

问题2 一个盒子中装有10个球，其中有3个白球，2个黑球，5个红球，采取不放回抽样，每次取一个，求第二次取到白球的概率.

说明：这两个问题在有相似性，在教学中应该预留足够的时间让学生分组讨论，在讨论过程中教师应帮助学生回忆条件概率公式、乘法公式和概率的有限可加性相关知识.实际上，问题1中设 “第一次取到白球”， “第二次取到白球”，则;问题2中设分别为第一次取到白球、黑球、红球， “第二次取到白球”，则.

二、归纳新知，剖析内涵

通过问题1、2归纳总结，这两个问题的共性是將所求事件转化成两个事件的乘积，两个事件的乘积又可转化成若干个互斥事件的和，于是所求事件的概率可以转化成若干个互斥事件的概率之和，再利用事件乘法的概率公式得到全概率公式.

导出全概率公式之后，讨论全概率公式的内涵，即：事件发生的概率不易直接求得，但积事件的概率可通过乘法公式易求得，即.由此可知利用全概率公式解决实际问题，关键在于找到样本空间的一个完备事件组，把一个复杂随机事件分解成若干个互斥的简单随机事件，形成一个随机事件组，然后利用互斥随机事件概率的可加性，最后利用随机事件的乘法公式求出各部分相交随机事件的概率，进而解决整个问题.[2]全概率公式体现了一个化整为零的重要数学思想，和定积分的微元法有异曲同工之妙，教学中应该培养学生这种思维模式.

为了更加直观的理解全概率公式，在教学中可充分利用Venn图进行解释，事件与样本空间的一个划分的每一部分都有交集，直接求事件的概率没有头绪，通过求积事件概率的和，求得事件的概率，如果是为“原因”，那么就是“结果”，每个原因都可能导致发生，故发生的概率是各原因引起发生的概率的总和.[3]

三、强化训练，知识内化

全概率公式讲解透彻之后，必要的例子能强化学生对全概率公式的理解，完成知识的建构和内化.

四、课堂总结、完善认知

直接应用加法公式与乘法公式可以计算一些较简单事件的概率.但在计算一些复杂事件的概率时，往往将其分解成若干个互不相容的比较简单的事件的和（即划分完备事件组），然后分别计算出这些简单事件的概率，最后根据概率的可加性求得复杂事件的概率，这就是全概率公式.在教学中要注重对概率基本理论的学习，培养学生利用概率方法建立概率模型，增强学生的创新能力和应用能力，使之符合高职院校培养应用型人才的目的.

参考文献

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版）[M].北京：高等教育出版社.2008：17-18.

[2]王鹏飞.全概率公式的教学研究[J].忻州师范学院学报，2018，34（2）：11-13.

[3]李春娥，张晓，徐翔燕.全概率公式的教学研究[J].高教视野，2020，13-14.