求阴影部分面积的思路和方法

于秀坤

求与圆有关的阴影部分的面积是中考命题的热点，解决问题时应根据图形的特点灵活选择方法.

一、直接利用公式计算

例1 （2019.梧州）如图1，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D.∠ADO=85°，∠ CAB=20°，则阴影部分的扇形OAC的面积是___.

解析：根据三角形外角的性质得到∠C= ∠ADO-∠CAB=65°.利用等腰三角形的性质求得∠AOC=50°，再由扇形的面积公式直接求阴影部分的面积，答案为5π/36.

点评：由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠AOC的度数，直接利用扇形的面积公式求阴影部分的面积，

二、和差法

例2（2019.福建）如图2，边长为2的正方形ABCD的中心与半径为2的OO的圆心重合，E、F分别是AD、BA的延长线与⊙O的交点，则图中阴影部分的面积是____.

解析：延长Dc、CB分别交OO于M.N，观察可发现阴影部分的面积等于圆的面积与正方形的面积差的1/4，答案为π一1.

点评：本题采用和差法求解，这种方法是求阴影部分面积的常用方法，基本思路是把阴影部分的面积转化为规则图形面积的和或差.

例3 如图3，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA =3，OB=2.将Rt△AOB绕点D顺时针旋转90°后得Rt△FOE.将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED.分别以O.E为圆心，OA、ED的长为半径画弧AF和弧DF，连接AD.则图中阴影部分面积是（   ）.

A. π

B.5π/4

C. 3+π

D. 8-π

点评：本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质.阴影部分显然是不规则图形，要求阴影部分的面积，需要将其转化为规则图形面积的和或差的形式.

三、割补法

例4（2019.通辽）如图5，等边三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为2.则图中阴影部分的面积等于（   ）.

A.π/3

B.2/3 π

C.4/3 π D.π

解析：观察图形可知

阴影包括两部分，分别是一个三角形和一个弓形.连接OC，根据题意可知S△AOB= S△AOC，所以可把△ABO“补”到△ACO处，从而把阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，计算∠AOC的度数，再利用扇形的面积公式可求得阴影部分的面积为4/3 π.选c.

点评：利用等面积割补法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积来求解，这种方法是求阴影部分面积的重要方法.当阴影部分不是一个整体时，通常可采用此方法.

四、等积法

例5 （2019.南充）如图6，在半径为6的OO中，点A，B，C都在⊙O上，四边形OA BC是平行四边形.则图中阴影部分的面积为（  ）.

A.6π B.3√3π C.2√3π D.2π

解析：连接OB，根据平行四边形的性质得到AB=OC，所以△AOB是等边三角形，所以∠AOB=60°.由OC//AB，可得S△AOB= S△ABC，进而可知阴影部分的面积等于扇形AOB的面积，答案为A.

点评：解决本题的关键是借助平行线间的距离相等及同底等高的三角形的面积相等，把陰影部分的面积转化为扇形的面积.

求阴影部分的面积的方法比较多，除了上述介绍的方法，还有一些求解方法，如对称法、转化法等，在求解时应根据已知条件并结合图形的特点，选择适当的方法.