方案设计型问题综述

李琳

近年来方案设计型问题一直是各地中考命题的热点，考查的知识一般是一次方程（组）、一元一次不等式、一次函数等，偶而涉及二次函数.考查的数学思想主要是转化、数形结合、分类讨论等.

一、运用不定方程（组）设计方案

例1（2019.绥化）小明去商店购买A、B两种玩具，共用了10元，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元，若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量，则小明的购买方案有（   ）.

A.5种

B.4种

C.3种

D.2种

解析：设A种玩具的数量为x件，B种玩具的数量为）y件.

由题意可得x+2y=10，即y=5一x/2，且满足条件：x≥1，y≥1，x>y.

可以分以下四种情况：

（1）当x=2时，y=4，不符合要求.

（2）当x=4时，y=3，符合要求.

（3）当x=6时，y=2，符合要求.

（4）当x=8时，y=1，符合要求.

∴.共有3种购买方案.

点评：在某些实际问题中，依据数量关系列出的方程个数少于未知数个数时，通过求方程（组）的某种特征的解，可使问题获得解决.此题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意分情况讨论是解题的关键.

二、运用一次方程（组）、一元一次不等式、一次函数设计方案

例2（2019.广安）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯.已知购买3个A型节能灯和5个B型节能灯共需50元，购买2个A型节能灯和3个B型节能灯共需31元.

（1）1个A型节能灯和1个B型节能灯的售价各是多少元？

（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200个，要求A型节能灯的数量不超过日型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.

解析： （1）设1个A型节能灯的售价是x元，1个B型节能灯的售价是y元. 200-a=50.

答：当购买A型节能灯150个、B型节能灯50个时最省钱.

点评：运用一次方程（组）、一元一次不等式、一次函数进行方案设计，可以根据题中蕴含的等量关系以及变量间的函数关系.列出方程（组）、函数解析式，再根据题中的不等关系确定变量的取值范围，结合一次函数的性质确定最优的方案，

三、运用一次方程（组）、一元一次不等式设计方案

例3 （2019.温州）某旅行团32人在景区A游玩，他们由成人、少年和儿童组成，已知儿童10人，成人比少年多12人.

（1）该旅行团中成人与少年分别是多少人？

（2）因时间充裕，该团准备让成人和少年（至少各1名）带领10名儿童去另一景区B游玩.景区B的门票价格为100元/张，成人全票，少年8折，儿童6折，一名成人可以免费携带一名儿童，

①若安排成人8人和少年5人带队，则所需门票的总费用是多少元？

②若剩余经费只有1200元可用于购票，在不超额的前提下，最多可以安排成人和少年共多少人带队？求所有满足条件的方案，并指出哪种方案购票费用最少.

解析：（1）设成人有x人，少年有y人.

可午x+y+10=32，解得x=17

x=y+12，

y=5

答：该旅行团中成人与少年分别是17人、5人.

（2）①安排成人8人和少年5人带队，所需门票的总费用是100×8+5×100×0.8+（10—8）×100×0.6=1 320（元）.

答：安排成人8人和少年5人带队，所需门票的总费用县1 320元.

②设可以安排成人a（a为正整数）人，少年b（b为正整数）人带队，则1≤a≤17，1≤b≤5.

下面分情况讨论，分别求出在a的不同取值范围内6的最大值，得到符合题意的方案，并计算出所需费用，比较大小即可，

当10≤a≤17时，可分以下三种情况.

a.若a =10.则100 x10 +100b x0.8≤1200.得b≤2.5.

∴b的最大值是2，此時a+b =12，费用为1 160元.

b.若a=11，则100 x11+100b x0.8≤1 200，得b≤5/4.

∴b的最大值是1，此时a+b =12，费用为1 180元.

c.若a≥12，则100a≥1 200，即成人门票费用至少是1200元，不合题意，舍去.

当1≤a<10时，可分以下三种情况.

a.若a=9.则100x9+100b x0.8+100x1×0.6≤1200.得6≤3.

∴b的最大值是3，此时a+b=12，费用为1 200元.

b.若a=8，则100x8+100b x0.8+100x2x0.6≤1200，得b≤3.5.

∴b的最大值是3.此时a+b=11<12.

c.当a<8时，易知a+b<12.

综上所述，最多安排成人和少年共12人带队，有三种方案：成人10人，少年2人;成人11人，少年1人;成人9人，少年3人.其中成人10人、少年2人时购票费用最少.

点评：运用一次方程（组）、一元一次不等式进行方案设计，可以根据题中蕴含的等量关系、不等关系，列出方程（组）或一元一次不等式，通过解方程（组）、一元一次不等式，结合题意确定方案，通过计算和比较不同方案的情况，确定最优的方案.