正方形中的蝴蝶三角形

左效平

正方形是一种重要的特殊平行四边形，也是许多考题的载体之一.而正方形中的一个重要图形——蝴蝶三角形，也日益成为各级考试考查的内容.下面，就结合2019年的中考题介绍正方形中的蝴蝶三角形，并梳理其应用.

一、初識正方形中的蝴蝶三角形

如图1.在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=CF连接AE，BF，两线交于点G.△ABE和△BCF构成的图形就是正方形ABCD中的蝴蝶三角形.蝴蝶三角形具有如下性质（证明从略）：

（1）蝴蝶三角形是全等三角形，即△ABE≌△BCF;

（2）斜边AE，BF的关系是AE=BF且AE⊥BF;

（3）三角形ABG的面积等于四边形GECF的面积：

（4）四边形ABFD的面积等于四边形AECD的面积.

二、蝴蝶三角形的应用

1.寻找等角的个数

例1（2019年·河池）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE=CF则图中与∠AEB相等的角的个数是（

）.

A.1 B.2C.3D.4

分析：△ABE和△BCF是正方形ABCD中的蝴蝶三角形，因此△ABE≌△BCF，所以∠AEB=∠BFC.根据正方形的性质，得到AB//DC，AD//BC，继而又得到∠ABF=∠BFC，∠AEB=∠EAD.这样，就把与∠AEB相等的角都找出来了，选C.

点评：确定等角的常用方法要熟记：（1）全等三角形的对应角相等;（2）两直线平行，同位角相等;（3）两直线平行，内错角相等;（4）等于同一个角的两个角相等;（5）与同一个角互余（互补）的角相等.

2.探求线段的长度

侧2（2019年·孝感）如图3.正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G.若BC=4，DE=AF=1，则GF的长为（

）.

A.13/5 B.12/5 c.19/5 D. 16/5

解：根据勾股定理，得BE=CF=5.根据蝴蝶三角形的性质，得BE⊥CF，所以CG·BE=