基于鞍点逼近的投资组合极端风险贡献度测度

范 琪， 秦学志， 王 麟， 宋 宇

(大连理工大学 经济管理学院，辽宁 大连 116024)

0 引言

投资组合风险管理意在通过对资产的配置以及对风险的预警和防范，减少投资组合的潜在损失。在过去几年我国金融市场资产价格高波动的背景下，有必要探析投资组合风险波动不定的深层次原因。

风险价值VaR(value at risk)、条件风险价值CVaR(conditional value at risk) 或期望损失ES(expected shortfall)等是目前广泛使用的风险度量指标。VaR能提供某个置信度下的可能风险，CVaR或ES能表征超出某个置信度的可能风险。若需要度量投资组合中每种资产对组合总风险的贡献度，则需要对它们进一步改进和完善。即通过对风险指标分解，来度量各资产、组合对总风险的贡献，藉此用于风险预警、防范和资产配置等。

将投资组合中每种资产对总风险的贡献称为风险贡献度。其中常见的定义是资产配置的微小变化对投资组合总体风险的敏感性(如，Litterman[1], Tasche[2],和Hallerbach[3],。Litterman揭示了风险贡献度的优点并绘制了整体风险来源的几何形态，不过他没进一步对风险贡献度进行分解；Lee和Lam[4],等提出风险贡献度和风险贡献比的概念，并实际应用于风险管理和风险预算以及资产分配与投资组合管理领域；Menchero和Hu[5],提出将风险贡献度分解为波动性和相关性，但没进一步研究波动性和相关性，也没将风险贡献度付诸应用；Nil[6],研究了基于风险价值()的历史数据法表征风险贡献度，方法虽简便，但应用于实际测算时存在诸多问题。

值得关注的是，Martin等[7],通过鞍点估计测算了每种资产对组合的风险贡献度，并进行了实证研究；在Martin研究基础上，Muromachi[8],通过假设投资组合中各资产条件独立，提出了一个新的风险评估框架，但所计算出的风险贡献度准确性尚不够高。鉴于上述研究现状和不足，本文进一步优化了基于鞍点逼近的风险贡献度模型。为了验证新方法的有效性，分别采用了鞍点逼近模型和历史数据法对投资组合的风险贡献度进行了建模和实证分析。

本文结构如下：首先对研究现状进行梳理。第一部分对风险贡献度的含义进行刻画。第二部分构建了基于鞍点逼近的风险贡献度模型。第三部分采用我国股票市场股票数据，分别基于鞍点逼近模型和历史数据法进行了实证研究，据此度量了我国股市的风险。最后得出结论。

1 风险贡献度的基本测度模型

记X为在时刻T投资组合收益率的随机变量，以FX(x)表示其分布函数，fx(x)表示其密度函数。本文中，X的100α分位数表示为Qx(α),0<α<1, 则

QX(α)=inf{x|Fx(x)≥α}

(1)

如果FX(x)是关于x的严格递增函数，则QX(α)=x,其中满足Fx(x)=α。

记c是参考值，如c为投资组合t时刻的平均收益率，则VaR在置信水平α下可定义为

VaRX(α)=c-QX(1-α)

(2)

以RCj表示资产j在投资组合中的风险贡献度，定义如下：投资组合总风险Rp相对于aj的微小变化的敏感性∂RP/∂aj，再乘以aj，即

(3)

其中，RP可以是标准差、VaR或CVaR等。

(4)

Tasche对采用来表征风险贡献度的必要条件进行了推证，即，如果资产j在置信度α下的VaR风险贡献度存在，可表示如下:

(5)

遗憾的是，式(5)很难给出解析解，为此现有研究广泛采用历史数据法: 假设未来的收益分布依赖过去时期的收益分布，即通过历史收益来估计组合的未来潜在收益分布及风险大小，进而求出相应的风险贡献度。

上述方法存在一定的局限。历史数据法主要适用于存在数据量较大且持有期较短的情况，但是即使持有期短、观测数据很多，对风险价值和极端情况下的风险贡献度的估计仍由处于分布尾部相对少量的观测值决定，因此估计的准确性仍难以保证。

2 鞍点逼近模型

2.1 对一般分布函数和密度函数的估计

假设投资组合中单个资产的收益率服从独立同分布。对于资产j的收益率采用鞍点逼近方法，得到投资组合收益率的密度函数和分布函数近似表示。

Xj(t)的矩母函数MXj(s)可表示为

(6)

投资组合收益率X(T)的矩母函数可表示为

(7)

根据定义，投资组合收益率X(T)的生成函数为

KX(s)=logMX(s)

(8)

通过Fourier逆变换，投资组合密度函数可表示为

(9)

其中γ为一个趋于无穷小的实数。因此，为了便于计算，本文使用鞍点逼近方法。通过鞍点估计[11]，可得

(10)

通过使用Edgeworth展开公式渐进展开，得到关于投资组合收益率的分布函数估计[12]:

(11)

2.2 对投资组合风险贡献度的表示

若FX(x)对aj可微的，则

(12)

进而得到：

(13)

c是参考值，如果c对aj可微的，根据式(13)可以得到投资组合中资产j风险贡献度表达式：

(14)

3 实证研究

3.1 投资组合VaR及风险贡献度的计算

2012年8月，为反映房地产行业股票的收益表现，向市场提供细分的行业投资标的，国证房地产指数以巨潮行业分类标准为基础，选取A股市场上归属于房地产行业的规模和流动性突出的50只股票作为样本股。查询从2014年1月至2016年3月国证房地产指数数据，万科A(15.684%)、保利地产(7.719%)和招商蛇口(4.956%)三支股票在国证房地产指数中一直占很高权重。从国证房地产指数选取权重可知，这三支股票对房地产行业具有一定的代表性。

因此，本文选择上述三支股票，使用鞍点逼近模型和历史数据法测算投资组合的和对应的风险贡献度，并与实际结果比较。

假设所选三支股票组成一个投资组合，组合中三支股票所占比例与单只股票市值有关，即为单支股票的年均市值。招商地产在2015年4月3日因宣布“筹划重大事项”而停牌，同时万科A股在2015年12月份因被恶意收购而停牌。所以本文选择对2015年4月2日的数据进行估计。同时，因股票一年的交易日是250天，所以本文使用2014年3月25日至2015年4月1日共250个数据作为分析基础。使用鞍点逼近模型和历史数据法测算2015年4月2日三支股票所组成投资组合所对应的及风险贡献度，并与2015年4月2日三支股票所组成投资组合的对应结果进行比较，得出最适用模型。

表1列出了2015年4月2日两种方法三种置信度下所测算投资组合的VaR和对应风险贡献度的结果，从中可以看出，所有模型测算的VaR都大于真实值，可知所有模型都不会低估风险。所以，如果历史数据缺乏，可使用鞍点逼近模型计算投资组合风险价值VaR，这对极端风险的识别与谨慎规避具有重要意义。表2列出了两种方法三种置信度下每种资产的风险贡献度测算情况与实际情形比较(偏差)，并计算了整个投资组合偏差。由表2可知：除外α=95%，鞍点逼近法的精度大于历史数据法的精度，若进一步考虑历史数据缺乏或很难获取情况下鞍点逼近模型的优异表现，可以认为鞍点逼近模型测算结果具有较强的代表性。同时比较α三种取值下投资组合VaR值和投资组合风险贡献度偏差可知，当α=95%时，无论是鞍点逼近法或者历史数据法，所得结果都最可靠。

表1 2015年4月2日风险贡献度和VaR的估计值

表2 估计结果与实际值的精度比较

3.2 基于历史情景法的压力测试

上述实证分析日期为2015年4月2日，当日上证综指的涨跌幅是0.41%，国证房地产指数的涨跌幅是-0.45%，属轻微震荡。但是，20多年来我国股市历经多次大震荡大调整。特别是2015年，沪指暴跌42.7%，各方损失惨重。因此对极端情况下鞍点逼近模型可靠性分析极为重要。本文测试了上证综指和国证房地产指数出现极端暴跌情况下投资组合的VaR和风险贡献度。

对涨跌幅的选择：分别收集上证综指和国证房地产指数2012年8月至2015年12月涨跌幅数据进行排序分析，考虑投资组合三类资产数据的有效性，选择此时间段内上证综指最大跌幅8.49%和国证房地产最大跌幅8.75%为极端情景,进行压力测试。

表3列出了在上证综指和国证房地产指数出现极端跌幅下投资组合的实际损失值和风险贡献度以及鞍点逼近模型在三种α置信水平下所测算出投资组合的VaR和风险贡献度。比较投资组合VaR值可知，即使在极端情况下，模型所测出的VaR也不会出现低估情况。表4列出鞍点逼近模型三种置信度下每种资产风险贡献度测算情况与实际情形的偏差，并计算了投资组合的偏差。通过投资组合偏差可知：当上证综指和国证地产指数出现剧烈震荡时，鞍点逼近模型所计算结果偏差小于10%，应属合理误差范围内。且当置信度α=95%时，所得结果相对实际值偏差最小。同时，投资组合偏差程度随α置信度增加而增加。所以，在极端情况下鞍点逼近模型也能较好地测算投资组合风险贡献度。

表3 鞍点逼近模型在上证指数和国证指数极端跌幅下的测算结果

表4 极端情景下上证指数和国证指数鞍点逼近模型测算精度

4 结论

决策者若能对所拥有的投资组合风险贡献度进行定量分析，就有望得到具有前瞻性的风险贡献度信息，这有助于决策者在负面结果出现之前，通过及时调整投资组合等策略，减少未预期风险带来的损害，因为风险贡献度度量了个体资产的风险对整个组合资产风险的贡献，是投资组合管理者藉此做出科学资产配置的重要依据之一。

本文给出基于鞍点逼近模型计算投资组合风险贡献度的方法。通过鞍点逼近模型，能估计出简洁的投资组合密度函数和分布函数。同时，实证研究结果表明，鞍点逼近模型所计算出的结果在多数情况下其精度高于历史数据法，若进一步考虑历史数据缺失(例如股票停牌等)频繁出现的现实背景，采用鞍点逼近法测算投资组合风险贡献度的实用性将更加凸显，压力测试分析也支持了在极端情况下鞍点逼近模型的适用性。

最后，需要指出的是，因本身的局限性，所计算的风险贡献度精度仍有通过其他度量方法进一步提高的可能，这有待进一步研究。