Copula-CVaR下考虑随机成本和需求的单周期订货决策研究

周赛玉, 王长军, 邵 栗

(东华大学 旭日工商管理学院,上海 200051)

0 引言

不确定环境下最优订货量决策是供应链物流运营中的经典问题[1,2]。在单周期下，解决这一问题的典型做法是构建相应的报童模型，其中包含了需求、成本以及市场价格等外生变量。传统模型中，在给定的成本和价格下，仅考虑需求这一不确定因素。对于传统报童模型的相关研究，Khouja[3]和Qin等[4]进行了详细的综述和分析。但是，在现实情况中，随机变量不仅仅局限于市场需求，常包含有其它随机因素，且多个随机变量间存在内在关联。许民利和李展[5]是为数不多的对这一问题进行研究的论文，研究基于报童模型，考虑了除需求这一随机因素外，市场价格也为不确定，且两者存在关联下的单周期订货量决策问题。

本文注意到，在诸多现实问题场景中，产品的成本同样存在显著不确定性。以电子产品为例，在产品的生产制造过程中，由于产品质量控制、工艺流程中存在的种种不可控性，导致与此相关的产品生产费用存在不可忽视的随机性。而且，这一随机因素与需求的波动之间存在内在的直接关联。具体来说，企业为质量花费的成本越多，越有利于提高产品的质量，继而有助于拉动市场需求。反之，则可能因为产品质量缺陷而引发的公共事件，继而会负面影响市场需求。至于价格，在完全竞争的市场中，差异化不明显的产品则呈现出价格趋同的现象。因此，在这一场景下，决策者需要在给定的市场价格，波动的生产成本和需求下，制定与产量的相关决策，比如原料库存量或是产能设置。而这一问题，本质上是成本和需求双波动下的报童决策，这是现有相关研究尚未考虑的。

为对这一问题进行研究，有如下两个重要因素值得关注：一是如何描述多随机变量之间存在的关联性；二是需要考虑决策者的风险态度。

由于现有的报童问题多数仅考虑了需求这一单随机变量，故而，上文的第一点因素是现有研究较少涉及的。而且，现实中，多随机变量的联合分布函数通常是难以获取的，特别是各因素间的厚尾、非线性、非对称等复杂特征进一步增加了处理它们关联性的难度。为解决这一问题，Sklar[6]最早提出通过建立Copula函数来刻画随机变量间关联。Copula函数作为“相依函数”，通过将各随机变量的边缘分布连接起来，由此描述变量间联合分布，从而极大简化了多随机变量的建模过程。Embrechts等[7]较早将Copula理论成功应用于金融问题的研究中。此后，Copula函数成为了解决金融风险分析和组合投资决策的重要方法，得到了广泛的应用[8～10]。但目前，较少有研究利用Copula函数解决类似报童的运营决策问题。Aydln等[11]是为数不多的将报童与Copula函数相结合展开研究的工作之一。但是，该文关注面向是多产品的报童决策，Copula函数被用于构建两种不同产品的联合概率分布。这与本文拟考虑的联合波动的成本和需求不同。

第二点，经典报童研究中的决策主体是风险中性的。近年来，考虑到不确定因素对收益存在的显著影响，决策者不可避免关注到其中所蕴含的风险问题。这驱使研究者们考虑决策主体可能具有的风险态度。在现有研究中，常见风险度量指标有均值-方差、风险价值(Value at Risk, VaR)、条件风险价值(Conditional Value at Risk, CVaR)，以及鲁棒优化等方法。在指标的选择上，诸多研究者认为有效的风险度量应当具有诸如一致性、次可加性和单调性等特征[12,13]。然而，均值-方差方法的局限性在于，其仅能够给出目标偏离期望的程度，不能区分偏离方向。鲁棒优化能够解决实际问题中数据稀缺性和随机分布难以准确描述的问题[14,15]，但由于其优化仅针对最差情况，得到的结果常被批评过于保守。相对于VaR，Rockfaller和Uryasev[16]提出的CVaR指标具有良好的次可加性、一致性和易求解的特征，从而被广泛应用于包括报童决策在内的运营管理研究中。Jammernegg和Kischka[17]综述了上述指标在报童问题中的应用，但是，相关研究仅考虑了需求的不确定性。

以上两者，即Copula和CVaR，的结合，已在金融等相关领域[18,19]得到了广泛关注。但将两者综合应用于不确定环境下的最优订货量决策的相关研究仍不多见。为解决本文提出的随机成本和需求下的报童决策，本文拟采用Copula函数建立两随机变量联合分布，并利用CVaR描述决策者风险态度。论文安排如下。首先，给出相关基础理论。继而，构建相应的Copula-CVaR模型，证明其模型解的理论性质，并将模型转化为一个易求解的线性规划模型。然后，给定Copula函数和相关系数，并利用蒙特卡洛模拟生成线性规划模型中所需要的随机情景，并由此利用Cplex求解模型最优解，展开仿真研究与分析。最后，给出本文的研究结论并展望未来可能的研究方向。

1 相关理论基础

1.1 Copula函数基本定义

Copula函数可用于描述随机变量间的相依结构。随机变量间不同的相关程度可通过不同的Copula函数来建模，这一方式对边缘分布没有限制。由此，任意形式的分布均可通过选择特定的Copula函数进行构造，从而生成多元随机变量的特定联合分布函数。Copula的详细含义与性质可参见Nelsen[20]。

定义n元Copula函数是指具有以下性质的函数C：

(1)DomC=S1×S2×Sn，Si∈[0,1]，i=1,2,…,n；

(2)C相对于Si递增；

(3) 对xi∈[0,1]，i=1,2,…,n，有C(1,1,…,xi,…,1)=xi。

记随机向量(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为F，边缘分布函数为F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn)。由Sklar[6]定理，若各边缘分布函数连续，则存在唯一Copula函数C，满足：

F(x1,x2,…,xn)=C(F1(x1),F2(x2),…,Fn(xn))

(1)

Sklar定理给出了如何利用Copula函数和各随机变量的边缘分布建模联合分布的方法。以二维随机变量为例，其概率密度函数与Copula函数之间的关系为：

f(x1,x2)=c(F1(x1),F2(x2))f1(x1)f2(x2)

(2)

1.2 CVaR基本模型

CVaR为在一定置信水平β(0<β<1)下，收益低于VaR部分的期望值[16]:

CVaRβ(π(q,x))=E{π(q,x)|π(q,x)

≤VaRβ(π(q,x))}

(3)

其中，π(q,x)为收益函数，x为随机变量，q为决策变量。由Rockfaller和Uryasev[16]，当G(α,x)是关于α的凹函数时，CVaR指标可等价表述为:

CVaRβ(q)=maxα∈RG(α,x)

(4)

(5)

2 Copula-CVaR模型

2.1 模型基本假设与参数说明

传统的报童决策仅考虑需求不确定，然而在现实中，成本往往也是随机的。为此，本文针对成本和需求存在一定相关关系，价格是确定的情形，研究单周期下最优订货量决策。模型的基本假设和相关参数说明如下：

(1)考虑单产品单周期订货问题；

(2)市场价格确定，记为p；成本x和需求y随机，决策者订货前掌握成本和需求的边缘分布函数H1(x)和H2(y)，相应概率密度记为h1(x)，h2(y)；

(3)考虑随机成本和需求存在关联，记H(x,y)为成本与需求的联合分布函数，h(x,y)为联合概率密度函数。构建联合分布函数的Copula函数形如式(2)；

(4)订货量决策记为q，π(q,x,y)为决策主体的收益函数；

(5)不考虑缺货损失，期末未销售的商品单件残值为s。显然，p>s。

2.2 模型建立

首先，在给定的成本x、需求y以及订货量q下，决策者收益为π(q,x,y)=(p-x)q-(p-s) (q-y)+。由式(5)，再结合成本和需求的分布，在本文研究问题中，式(5)中函数G可表述为:

(6)

令：

(7)

(8)

对g1(α)和g2(α)讨论如下：

(1)当g1(α)中(s-x)q+(p-s)y-α<0时，有x>s-(α-(p-s)y)/q，则g1(α)可表示为：

(9)

(10)

将(1)、(2)所确定的α取值区间合并，可得，当α>0时，G函数表示为:

(11)

下文采用两种不同的方法说明G为关于α的凹函数。

方法1对式(11)求一阶导，由二重积分函数求导法则[21]，可得：

(12)

再求二阶导：

(13)

方法2对式(11)求一阶导可得：

(14)

由以上过程可知，目标函数G是关于α连续的凹函数。由式(4)，CVaR可表示为:

CVaRβ(q)=maxα∈RG(α,x,y)

(15)

进一步，结合式(2)，式(15)可转换为Copula-CVaR模型:

(16)

(17)

M1即为利用Copula和CVaR构建的考虑成本和需求双随机的单周期最优订货量模型。继而，可给出定理1。

定理1如果x与y的边缘分布函数和Copula函数均连续，则模型M1存在且仅存在唯一的最优解，且最优解满足一阶条件。

证明根据二重积分的求导法则[21]对模型M1求一阶导，可得:

(18)

求二阶导可得：

(19)

2.3 模型的离散表达

注意到一阶条件过于复杂，难以直接给出最优订货量的解析表达式来求解M1。为此，将模型M1进行离散化。其中，记(X,Y)的离散取值为(xi,yj)，i,j=1,2,…,m，并记P{X=xi,Y=yj}=Pij。则模型M1可表示为:

Pij((p-xi)q-(p-s)(q-yj)+-α)-}

(20)

引入辅助变量g替代g=(a-b)+，为此，增加线性约束:

(21)

类似的，引入变量zj和kij:

zj=(q-yj)+

(22)

kij=((p-xi)q-(p-s)(q-yj)+-α)-

(23)

由此，式(20)可转化为如下易求解的线性规划：

s.t.q-yj≤zj;j=1,2,…,m

(p-xi)q-(p-s)zj-α≥kij;i,j=1,2,…,m

xi≥0,zj≥0,q≥0,kij≥0;i,j=1,2,…,m

(24)

3 仿真实验与结果分析

3.1 仿真原理

3.1.1 Copula函数的选择

为模拟随机成本和需求的关联性，本文考虑在已有研究中常用的几种典型Copula函数。

以金融投资领域为背景，Kao等[22]对常见Copula函数的适用场景进行了简单归纳，指出，正态Copula函数可用于变量之间尾部无关联的问题，且操作简单，已经被广泛应用于各个领域[23,24]。而Clayton和Gumbel Copula函数分别适用于变量间具有下尾和上尾相关性的问题[25,26]。Nelson[20]对这些Copula函数的性质与特点做出了详细介绍。

由上，本文选择具有不同尾部特征的二元正态Copula函数、Gumbel函数和Clayton函数来模拟不同场景。具体函数表达式和和相关性测度如下。

(1)二维正态(或高斯)Copula函数：

(25)

其中ø-1(·)为标准一元正态分布函数的逆函数。其中，线性相关系数ρ用来测度变量相关性。

(2)二维Gumbel Copula函数：

(26)

其中θ为参数，且θ∈[1,∞)。

(3)二维Clayton Copula函数:

(27)

其中θ为参数，且θ∈(-1,0)∪(0,∞) 。

后两者属于阿基米德Copula族，其相关性测度均采用秩相关系数。本文中，为便于比较，秩相关系数仍采用参数ρ表示。其中，ρ>0和ρ<0分布表示正相关和负相关；ρ=0时则不能判定是否相关。对于Gumbel函数，其秩相关系数与θ关系为：ρ=(θ-1)/θ；对于Clayton函数，有ρ=θ/(θ+2)。

3.1.2 蒙特卡洛模拟

本文采用蒙特卡洛方法获得M2模型所需的离散随机场景。该方法的基本思想是：先建立一个概率模型或随机过程，使其参数等于问题的解；继而通过对模型或过程的抽样试验来计算所求参数的特征，最终得到所求结果的近似值。结果精度可用估计的标准误差来衡量[27]。

由式(1)，若要生成服从联合分布函数F(x,y)的随机变量(x,y)，则需给出在(0,1)区间上均匀分布且满足Copula函数C(u,v)的变量(u,v)，再分别对u,v求逆，即可得x,y的取值。具体如下：

(3)(u,v)为服从CopulaC(u,v)的随机变量；

重复以上步骤直至产生足够的(x,y)样本。

由上，可得产服从Copula函数分布的成本和需求，其中，可通过不同的ρ反映随机成本和需求的相依性。

3.2 仿真与结果分析

假设价格p为1000，残值s取5。成本c和需求d分别服从正态分布N(30,102)和N(1000，1002)。利用Matlab进行蒙特卡洛模拟，以正态Copula函数(ρ=0.5)为例，可得如下5000组随机c和d的分布图。由此，可通过IBM CPlex求解模型M2。

图1 随机成本和需求分布图

一般认为，质量成本和需求间具有正相关性，质量提升所导致的成本的升高会带来需求的增加。此外，成本和需求的边缘分布也会对决策产生影响。故下文，在不同的置信水平(β)下，首先分析不同的ρ对决策的影响，继而针对不同的成本和需求方差展开仿真。

3.2.1 置信水平和随机变量相关性对决策结果的影响

首先以正态Copula函数为背景，对不同的ρ和β下的最优订货量q*的进行仿真，得到如下结果。

由图2所示仿真结果，参数ρ和β对决策结果q*有显著影响。单看β，当其较小时，其增加不会改变q*，但随着β的增加，q*随之开始出现显著变化。当ρ较小时，即需求受成本影响不大时，q*随β的增加而变小。而当ρ较大，q*随β的增加而变大。也就是说，决策者避免由于成本过高导致的损失选择加大产量决策。此外，在给定β下，q*随着ρ的增加而加大。在β较大时，q*随ρ的变化幅度也更大。总而言之，ρ和β对于最优产量决策的影响不是简单的线性关系。

图2 不同ρ和β组合下的q*(正态Copula函数)

图3 不同ρ和β组合下的目标(正态Copula函数)

图4-a 不同ρ和β组合下的q*(Clayton函数)

图4-b 不同ρ和β组合下的目标(Clayton函数)

以上仿真关注了决策选择q*，下文观察参数变化对决策者CVaR目标的影响。由计算结果，得到目标利润的趋势变化图如图3。

图3表明，无论ρ为何，β=0下的目标利润为最大。随着β的增加，利润逐渐减小。但ρ较小时，利润的变化趋势显著大于ρ较大时的情况。此外，给定β，目标值随ρ的增加而增加。但当β较小时，不同ρ下的目标利润变化差异不大。

类似地，本节给出了另外两种Copula函数：Clayton和Gumbel函数下的订货量决策和目标利润的仿真结果，并绘制相应结果如图4和5。

图5-a 不同ρ和β组合下的q*(Gumbel函数)

图5-b 不同ρ和β组合下的目标(Gumbel函数)

不难发现，Gumbel和Clayton函数下的q*和目标值变化趋势同正态Copula函数基本相似。三者相比，随着ρ的增加，Gumbel下的q*与β的单调性最先变化，其次是Clayton，最后发生变化的是正态Copula函数。

3.2.2 随机变量波动性对决策结果的影响

本节观察随机参数：成本和需求的波动对决策的影响。为此，本节首先关注不同εc(成本标准差)和β下q*的变化情况。ρ取0.5，需求服从于N(1000，1002)。绘制不同Copula函数下最优决策随εc和β的变化图。

由图6，三种Copula函数下，随εc的增加，q*先大幅增加，后增幅放缓，甚至减少。且β越大，这一变化趋势约发明显。在εc较小的情况下，成本变化不大，β的减少会显著抬升q*；当εc较大时，β对于q*的影响明显减弱。

图6-a 不同ρ和εc组合下的q*(正态Copula函数)

图6-b 不同ρ和εc组合下的q*(Clayton函数)

图6-c 不同ρ和εc组合下的q*(Gumbel函数)

以上讨论了在不同εc和β下q*的变化情况，接下来选假定成本服从于N(30，102)，关注εd(需求标准差)和β对决策的影响。

观察图7可知，就β来看，三种Copula函数下的变化情况相似当不完全一致。对于正态Copula和Gumbel函数，在εd较小的情况，即需求波动不大时，β对于q*的影响也较小。而随着εd的增大，β大的情况下的q*呈现幅度减少。而对于Clayton函数，β对q*的影响随也呈现类似趋势，但只有当εd较大时，β才开始对q*产生明显影响。

图7-a 不同ρ和εd组合下的q*(正态Copula函数)

图7-b 不同ρ和εd组合下的q*(Clayton函数)

图7-c 不同ρ和εd组合下的q*(Gumbel函数)

以上结果表明，不管是εc或εd，都会对q*产生显著的非线性影响，这意味着不同的市场状态下决策者的行为也存在显著差异。

4 结论

本文研究这样一种运营问题：市场为同价竞争，而供应成本与质量或运营波动直接相关，并会影响市场需求。为对这一问题进行研究，构建了面向外生的随机成本和需求的Copula-CVaR报童模型，并考虑决策者可能具有的风险态度。研究内容包括：

(1)构建了相应模型，并证明了模型结果的存在性和唯一性，给出了与所提Copula-CVaR模型等价的线性规划模型。

(2)研究了随机的成本和需求之间的相关性对决策的影响。研究发现，在置信水平较小时，无论随机变量相关性如何，置信水平的变化对决策行为影响有限。而当置信水平较大时，最优订货量会随着相关性的不同而呈现不同变化。当正相关性较弱时，最优订货量会随着置信水平的增大而减少；反之，置信水平越大，订货量越高。此外，不同的Copula函数下的最优决策变化规律相似。

(3)波动性的加大会增加最优订货量的决策，但增加的幅度呈现递减，甚至反转的现象。且置信水平越大，波动性对最优订货量的影响就越明显。

在未来的研究中，有必要考虑到市场中的随机变量的分布常难以准确描述的情况。但是，传统的鲁棒方法虽然不依赖于准确信息，但所得结果常过于保守。近年来，分布式鲁棒优化(Distributionally Robust Optimization)的方法常被应用于部分信息已知下的决策问题，将其应用于稀缺数据情景下面向多随机变量的优化决策是未来的一个重要方向。另外，显然，考虑更多的随机因素能够与现实市场的状况更加吻合，这也是有待未来研究解决的问题。