时标上一类二阶中立型动力方程的振动性

刘兰初

（湖南工程学院 计算科学与电子学院，湘潭411104）

0 引言

在振动性、渐近性、稳定性等方面，微分方程与差分方程在许多的研究方法与结果上是相似的，因此，有学者探索将离散和连续情形进行统一分析，1988 年，Stefan Hilger［1］首次引入了测度链时标（实数R 的一个任意闭子集［1-2］）理论，给微分方程和差分方程的统一研究提供了有力的理论依据，取得了一些研究成果.Bohner 等［3］进一步完善和发展了Hilger 的理论.Agawal、Bohner、Eber 等［4-7］系统地研究了时标上泛函微分方程的各种理论，并取得了丰硕的成果.近些年，关于时标上动力方程解的有界性、渐近性、全局稳定性、全局吸引性、振动性等的研究也取得了一些成果［8-11］.但这些成果大多限于一阶方程，而高阶方程这方面的研究却不多.主要是由于时标上高阶导数的求导与积分特别复杂，很多理论推导无法进行.本文研究时标上高阶微分方程的理论不仅在纯数学领域中有着重要的意义，而且是金融、期货、生物制药、环境科学、自动控制系统等领域重要的理论依据.

1 预备知识

实数R 的任意一个非空闭子集称作一个时标，本文以符号T 表示.例如：R、Z、N、［0，1］∪N，都是时标.但有理数集、无理数集、开区间（0，1）等都不是时标.

定义1 对任意的t ∈T，定义向前跳跃算子σ：T →T 如下：

σ(t):=inf{s ＞t:s ∈T} ，

以及向后跳跃算子ρ：T →T 为：

ρ(t):=sup{s ＜t:s ∈T} .

如果σ(t)＞t，则称t 是右边稀散的；如果ρ(t)＜t，则称t 是左边稀散的；左右两边都是稀散的点称为孤立点.另外，如果

t ＜supT 且σ(t)=t，则称t 是右边密集的；如果

t ＞infT 且ρ(t)=t，则称t 是左边密集的；左右两边都是密集的点称为密集点［1］.

定义2 设f:T →R,t ∈Tk.定义fΔ(t)为具有如下性质的一个数（假定存在）：对任意的ε ＞0，存在U 的一个δ 邻域（即对任意δ ＞0,U =(t -δ,t +δ)⋂T），使得

则称fΔ(t)为f 在t 的delta（Hilger）导数.如果对所有的t ∈Tk都有fΔ(t)存在，则称f 在Tk上delta（Hilger）可微，简称可微的［1］.

定义3 函数f:T →R 称为rd 连续的，如果它在右边密集的点连续，在左边密集的点的极限存在［1］.rd 连续的函数集f:T →R 记作：

Crd=Crd(T)=Crd(T,R).

时标上一阶中立型动力方程的定性研究已经很多，文献［8］考虑了

解的振动性.文献［9］考虑了

(x(t)-cx(t -τ))Δ+q(t)x(t -σ)=0的非振动解.

上述多是研究一阶动力方程，本文考虑了时标上二阶中立型动力方程：

的振动性.这里τ ＞0为常数，0≤δ(t)≤t，P(t)∈Crd([t0,∞),R+),R+=[0,∞).

本文记z(t)=x(t)-cx(t -τ).

2 主要结果

定理1设0 ＜c ＜1，如果存在整数n，使得

则方程（1）的非振动解趋向于0.

证明：不妨设x(t)为方程（1）的最终正解.选取充分大的t1，使t1≥t0＞0. 当t ≥t1时，x(t)＞0，x(t -τ)＞0,x(δ(t))＞0，易知：

zΔ2(t)=-P(t)x(δ(t))＜0.

x(t)＜cx(t-τ)＜c2x(t-2τ)＜…＜cnx(t -nτ).

反证法.若z(t)＞0，t ≥t1,方程（1）可写成：

从而

由于zΔ2(t)=-P(t)x(δ(t))＜0.故zΔ(t)单调减少，

故zΔ(δ(t)-jτ)≥zΔ(δ(t)).从而

推论1.设0 ＜c ＜1，且

则定理1 成立.

故条件（2）成立，证毕.

定理2设0 ＜c ＜1，如果存在整数n，使得（2）成立，同时存在整数k，使得t -δ(t)＞kτ，且则方程（1）的所有解振动.

证明：不妨设x(t)为方程（1）的最终正解. 令z(t)=x(t)-cx(t -τ),t ≥t1，则根 据定理1 的证明，只需证明在条件（6）下，zΔ(t)＜0 不可能成立.为得到矛盾，重写方程（1）如下：

重复累加得：

由z(t)的单调性产生

对上式从s 到t 积分，有

对上式从δ(t)+kτs 到t 积分，有

由于z(t)单调减少，故

上式与假设zΔ(t)＞0,z(t)＜0 矛盾，故定理2成立.

定理3设c=1，如果存在整数n，使得则方程（1）的非振动解必有界.

因 此，zΔ(t)＞0,t ≥t1，此 时 有 两 种 可 能：z(t)＞0 或者z(t)＜0.

现设z(t)＞0.方程（1）可写为：

由z(t)的单调性产生

由于zΔ2(t)=-P(t)x(δ(t))＜0.故zΔ(t)单调减少，故zΔ(δ(t)-jτ)≥zΔ(σ(t)).

从而

推论2.设c=1，且

成立，则定理3 的结论成立.（证明类似推论1）

定理4若在定理3 的条件下，又存在整数k≥1，使得t -δ(t)＞kτ，且

则方程（1）的所有解振动.

证明：不妨设x(t)为方程（1）的最终正解.令z(t)=x(t)-x(t -τ), t ≥t1，则zΔ2(t)＜0,t ≥t1.由定理3 可知，只需证明在上述条件下，z(t)＜0 不可能最终成立（反证法）.即

设z(t)＜0,方程（1）可写为：

由z(t)的单调性产生

zΔ2(t)-kP(t)z(δ(t)+kτ)≤0.

类似定理2，对上式积分2 次，得：

由于z(t)单调减少，故

上式显然与假设z(t)＜0 矛盾，故定理4.证毕.