解析法时域分离入、反射合成波方法研究

杨 明

（中交第一航务工程勘察设计院有限公司，天津 300222）

引 言

波浪反射导致近岸结构物静水面的波浪荷载、桩柱的剪切力荷载增大，威胁建筑物稳定性。将波浪视为一种信号的话，从信号分离域角度可将目前波浪反射分离的研究成果归为频域和时域两类。自由波指扰动力消失后仅在重力作用下继续传播的波浪[1]，自由波分离方法的研究成果众多。

早期的分离方法基于波能守恒观点，利用快速傅里叶算法，计算波浪平均的整体反射系数，并分离出组成合成波的许多个（理论上应是无限个）初相位、频率不等的简谐波的入射波振幅。受制于线性波理论的假设条件，该类方法对波浪平稳性要求很高，且集中于频域分离[2]，若要分离局部合成波信号传播过程中时间域的波浪特征参数信息，必须借助时域分离。

1995年Frigaard等[3]采用数字滤波原理建立的时域分离方法。将波浪幅值时间序列作为数字滤波器的输入信号，利用波浪反射后的特征值变量，即振幅响应算子及理论相位变化值构建传递函数；同年 Zhu[4]基于线性系统观点建立了不需计算相位差和波幅值的传递函数法，但仅局限于规则波的分离；2002年Sun等[5]提出了希尔伯特变换解析法分离不规则波。前述方法基于线性波理论，2010年Ma[6]采用 Morlet小波构建波面信号时间序列的解析形式，提出适用于非线性作用明显的入反射波的分离方法。

1 传递函数法

图1 传递函数法反射模型

1.1 分离原理

由式（3）易知，kΔx=nπ条件下存在奇异解，应用时两处浪高仪间距应避开半波长整数倍[7]。

1.2 数字滤波器设计

1.2.1 传递函数

图2 滤波器的复频响应

复频响应函数是关于中心对称的。图2对应N=64，Δf=0.1Hz条件下滤波器的复频响应示例。

1.2.2 滤波器系数

复频响应函数进行逆离散傅里叶变换，得到的脉冲响应函数即为有限时序的滤波器系数：

ηp-j和hj分别指代t=j⋅Δtfilter时刻波面高度和滤波器系数，图3为N=64，Δf=0.1Hz时滤波器系数示例。

1.3 传递函数法的计算步骤

1）遵循Goda[7]两点法的奇异解条件合理布置测点，采集波面数据；

2）明确长度N，迭代逐个计算采样频率的波数；

3）由式（4）确定传递函数H1（f）、H2（f）表达式，计算所有采样频率的振幅值系数C；

图3 滤波器系数

2 希尔伯特变换解析法

2.1 解析信号的性质

采集波浪数据通过希尔伯特变换给出解析表达，得此波浪序列的瞬时相位和瞬时模[5]。

2.2 分离原理

希尔伯特变换法分离时，采集波列信号表示为：

2.3 希尔伯特解析法的计算步骤

1）遵循Goda[7]两点法的奇异解条件合理布置测点，采集波面数据；

2）卷积计算，对采集信号作希尔伯特变换得到η（t）解析表达式的虚部g（t）；也可对采集信号作快速傅里叶变换得到F（ω），由式（12）得解析信号的傅里叶变换表达式Z（ω），而后再作逆傅里叶变换得g（t）；

3）确定采集信号的解析形式后由式（15）可得入反射波的解析表达，该复数域函数的实部即为入反射波浪的时域波面信号。

3 Morlet小波变换解析法

小波变换（wavelet transform，WT）是基于短时傅里叶变换拓展出的一种时频分析方法，其时频窗口函数具备可调性，可同时实现信号频域和时域信息的局部化分析。

Morlet小波在海浪谱分析中应用广泛，利用Morlet小波变换构造信号的解析形式可表示信号的频谱包络以及瞬时相位。

时间序列信号xn（t）的连续小波变换可表示为：

式中：WT（s,t）是小波变换系数；s是尺度因子，表示与频率有关的伸缩；n′是时间平移因子；ψ*的星标代表共轭，ψ是基本小波ψ0的无量纲化：

小波变换的窗口函数是在“n′-s”域的二维尺度平面，其尺度和平移参数可自适应性调节，在高频部分具有较好的时间分辨率特性，在低频部分具有较好的频率分辨率特性。

连续小波变换式（17）直观便于理解，但实际计算时为简化计算根据卷积定理参照下式进行：

Morlet小波的傅里叶变换表示为：

这里s0=2Δt表示最小尺度；J表示最大尺度，尺度参数δj与分辨率成反比，Morlet基本小波中取0.5。

小波变换的逆变换：

解析信号xA（t）的实部为时间序列x（t），重构因子Cδ：

Ma[6]利用Morlet小波变换分离频率成分复杂的不规则波：借助其局部分析特性，逐个获取波浪中各尺度组成波的解析信号，给出各个频率（尺度）下组成波的入反射波时间序列其解析表达，再进行Morlet小波逆变换，即得入反射波的时域波面信号。

4 结 语

本文结合Frigaad[2]传递函数法以及Sun[5]和Ma[6]两种解析法进行对比研究。二维自由波的时域分离流程示意参见图4。

1）Frigaad传递函数法基于线性系统理论，考虑数字滤波前后仅仅相位和幅值改变，频率不变。波浪反射过程与之类似，增加计算频率范围，其与输入信号频率存在重叠的部分就越多，有助于提高精度。

2）希尔伯特解析法不需计算相位差和波高，应用于不规则波时，首先作傅里叶变换需借助Fourier变换给出各分频波的初相位和波高，逐个就分频波分离计算，再将结果线性叠加即得不规则波反射系数。

3）Morlet小波变换解析法的贡献在于解决了非平稳波浪入反射波的分离。

4）借鉴频域分离方法[2]，基于波浪浅水变形理论以及多普勒色散关系，所有时域方法也可相应拓展到斜坡地形以及水流存在条件时二维自由波的入反射波分离。

图4 自由波时域分离流程