数形结合视角下数学核心素养的生成与建构

姬梁飞

(华中科技大学 教育科学研究院， 湖北 武汉 430074)

当前数学教学现状并不乐观，一方面应试教育的痕迹依然明显；另一方面新课程改革的理念尚未得到全面落实.建构基于数学核心素养培育的课堂教学是新时代的迫切需求.课程改革的顶层设计到课堂教学需要转化媒介和生成载体，需要具体的着力点和抓手，这样才能使新课程理念落地生根.从数形结合的视角探究数学核心素养的形成和发展,构建新型数学课堂，要厘清数形结合思想在数学课程中的渗透情形，以及在知识板块中的承接关系，这样才能将数形结合思想有机地融入课程内容中；要对数学学科的逻辑体系和课程结构进行深度分析；要以数形结合为主线，为学生的可持续发展和数学素养的培育寻找恰当的依托点和着力点.本文以数形结合思想为视角，以学生的思维方式、关键能力、数学情感为突破口，深化学生对数形结合的本质认识，改进教学方法，为培育学生的数学核心素养和优化学生的思维方式创造路径.

1 数形结合：核心素养的生成路径

1.1 课程主线：学科知识的整合

2017年12月，教育部颁布了《普通高中数学课程标准(2017年版)》，明确提出凝练学科核心素养，进一步优化课程结构，突出课程结构的4条主线[1].根据数学核心素养的特质、定位及表征的6个维度，目前数学教学需要厘清数学素养的内涵特质、生成路径和转化机制.首先，数学核心素养培育下的课程教学需要一个体现素养培育的学科知识统整，因为知识整合能够融合学科内部的知识技能、思想方法，打破原先单一维度的学科知识、思想方法的表现形式.“几何与代数”作为新课程标准的4条课程主线之一，贯穿了必修课程和选择性必修课程，涵盖了向量、复数、平面解析几何、立体几何等知识内容，并将几何与代数知识融为一体，凸显了用代数方法研究几何问题的倾向.这正是基于数形结合思想的课程理念.数形结合思想是联结数量关系与空间形式的桥梁和纽带，是构建函数、代数与几何、统计与概率、建模与探究4条数学主线交汇和衔接的基础.它将课程结构中的数学主线联结成体系，使其既相对独立又相互交融，如向量与三角函数的联结、曲线与方程的深度整合、概率与统计的交融共生等.

1.2 逻辑引领：素养培育的导向

数学核心素养是数学综合能力、数学情感态度的集中体现.它既是具体的，也是潜在的,包括数学思考、推理、论证、建模、交流、问题解决等关键能力，体现为观察问题的一种见识视野，思考问题的一种策略方法，表征问题的一种语言表达.在相应的教学策略实施方面，数学核心素养需要长期的、具体的、系统的教学过程.虽然目前对数学核心素养的生成尚无系统的研究，但有助于认识、探索数学核心素养生成的教学策略还是有迹可循的.根据数学核心素养的关键特征，可将数学核心素养归纳为一种数学意识、理性思维、数学思考、数学思想等，而数形结合的思维活动过程就是生成这些关键要素的重要媒介和载体.在数学核心素养的培育下，数形结合可作为数学活动的逻辑引领，表征数学建模、经历观察、推理想象、积累鲜活的数学经验.此外，数学学科最基本的特征就是抽象.而数学抽象的对象是数量关系、数学结构的抽象和图形关系、符号虚拟的抽象，这两种抽象的核心特征是“数”与“形”.数学抽象是数学核心素养的维度之一，数学教学也要发展人的数学抽象能力素养，但抽象的东西往往给人一种距离感、枯燥感.数形结合能够关照素养的培育，融合逻辑与直觉，培养数学情感态度，孕育数学学习的意志信念，表征心理认知过程，从模糊跨越到精确.

2 价值方法：优化学生思维方式

2.1 数学方法：理性思维的拓展

数学核心素养具有强烈的时代气息，是课程改革的时代诉求，其内涵必然聚焦在数学思维.数学学习的实质是数学思维的活动过程，数学思想、数学方法和数学情感都是提升数学素养的媒介.数学思想方法内容丰富、应用广泛，其中数形结合是人们思考和解决问题的重要方法，体现为对现实空间认知的一种思维范式，引导人们形成合理的思维方向和构建模式.20世纪末，西方学者曾把数学定义为一种“模式”的科学[2].因此有必要从更高的视角探讨数形结合思想方法的渊源和内涵.《几何原本》作为欧洲古典数学的巅峰之作，折射了西方人重演绎推理、形式逻辑、公理化思想等优良传统.《九章算术》作为中国古代数学的翘楚，以筹算为中心，体现了中国古代数学重算法规则、归纳模型思想的显著特色.同时表明，中西研究内容各自偏重，西方研究内容以初等几何为主，凡涉代数运算亦以几何方式处理；中国以代数方程为主，凡遇几何度量亦以测量运算方式解决.坐标和向量的诞生打通了几何与代数之间的联系.恰如希尔伯特所言，几何图形是图像化的公式，算术符号则是文字化的图形[3].数学重在形成人的理性思维.虽然中西方确定思维的起点有所差异，但解决问题的源动力最终将逻辑思维与形象思维交融在一起，两者相得益彰，共同建构人的理性思维.“数”与“形”两个数学对象兼顾了精确入微和直观形象的特征，且几乎囊括了所有基础数学的内容，所以人们将二者结合、统一的愿望越来越大.20世纪70年代，中国学者将二者联系起来形成了数形结合思想，并迅速得到数学同行的共鸣和青睐.其一，数与形表征事物有着不同的视角.由于刻画事物、解释问题方式方法的差异，选择从几何或代数视角表征事物需要考察其内部的深层结构，如探究勾股定理，选择代数方程式重在测量运算；选择几何视角重在构造精巧图形，设计推演.其二，数与形两种表征视角可以相互转换.数形结合是建立在对应思想、集合思想、转化思想等思想方法基础上的，是“数”的原象结构和“形”的映象结构的一种映射反演.钱佩玲认为向量是体现数形结合的良好载体，解析几何更是数形结合的典范，解析法的灵魂就是数形结合[4].数形结合思想具有数学方法论的价值，是思考和解决问题的一种思维方式.在解析几何领域，广泛应用代数方法研究几何问题，在函数、概率统计等领域，借数表形、寓形于数、数形互化的应用也不胜枚举.

2.2 思维表征：认知心理的建构

从心理学的视角看，数形结合是数学学习、数学理解的有力工具.人类认识世界是从直观开始的，形成关于数的概念更是起源于形、产生于形、受益于形、抽象于形.随着人类对数的认识程度的加深，人们开始以特定方式表达其属性，这就促进了记数的诞生，如狼骨刻痕记数、周易筹算数码、印度婆罗门数字[5]，这些都说明数与形相互表征的久远历史.在不同情境下，人们对不同形式下数学语言表征的认知程度也会有所差异，数表征与形表征在认知功能上也存在区别.数学语言是由数字、符号、表格、图形等要素构成的.熟悉的表征方式比陌生的表征方式更具有类比参照和促进理解的价值意义.

数形结合有助于形成多元表征能力，深化人们的原有认知结构，拓展解决问题的路径.影响人们学习新事物、解决问题的一个重要认知心理维度在于先前的知识储备和认知水平.同化和顺应是数形表征和认知过程中常见的两种心理机制，前者需要个体将新知识纳入已有的图式，后者需要个体调节已有的认知结构，以适应新情境.如学习集合概念时，针对具体实例采用图标、数轴、Venn图等符号语言刻画集合概念图式，借助下位学习概念(图表、数轴、Veen图等)调节已有图式，从而达到认知结构中新的平衡.培育与生成数学核心素养，也要引导个体在多元化情境中学习有价值的技能，形成理性的思维品质和科学的数学观.

3 关键能力：聚焦学生核心素养

3.1 逻辑推理：探索推理论证过程

运用图形、表格、图象、符号等方式进行表达、翻译、转换文字语言及数字语言，可以起到优化思维方式的作用，如画线段图、用图形表征数量关系等，沟通数与形的联系，降解复杂晦涩的问题，多视角揭示要素间的内在联系.《孙子算经》就记载了计数算筹，运用算筹进行推理、表达和运算(图1).

逻辑推理素养是高中数学课程学科素养的6个维度之一，主要有演绎推理和合情推理两类.前者是由一般到特殊的一种逻辑规则，后者既有特殊到特殊的类比推理，又有特殊到一般的归纳推理.当前数学课堂教学都是通过命题或案例的代数逻辑来揭示这两类推理形式的，这种教学方式在知识理解和迁移方面的教学效果欠佳，且缺乏深度.若采用数形结合的方式，从数与形的交融点去发现和论证数学问题，更便于揭示数学知识与数学问题间的内在联系，也更有说服力.

例3位小朋友一起观看动画片《名侦探柯南》，片中有A、B、C、D、E5位盗窃嫌疑人，他们对剧中盗贼做如下猜测：

小明：盗贼是B或D；

小华：盗贼一定不是C和D；

小刚：盗贼是A或E.

最后老师说：“你们3人中只有1人猜对了，但如何找到真正的盗贼？”

解析借助表格图形厘清线索，采用逐一假设的办法寻找他们言语中的矛盾，最后经排除、验证，推断出真正的盗贼是D(表1).

表1 逻辑推理的样表

3.2 直观想象：发展想象思维能力

直观想象是数学核心素养的一个重要维度，是培育学生数学直觉的主要路径.它借助空间想象和几何直观的形式去感知和理解事物的形态变化.培养学生的直观想象素养离不开图形的切割、组合、变换，以及形象思维与逻辑事物的转换.利用数形结合方法建立数与形间的联系，也就抓住了解决问题的关键.数形结合是抽象思维与形象思维相互结合、优势互补的数学方法.利用形象思维和直觉形象探究未知或论证抽象问题充分展现了人类思维的深邃和灵活.

M·克莱因认为，坐标几何把数学造成为一个双面工具，代数与几何可以相互表示和解释对方.拉格朗日说：“只要代数与几何相互结合，相互吸取新鲜活力，就能快速走向完善，否则就进展缓慢，应用空间狭窄.”[6]郑鸿翔等在教学中利用图形计算器模拟实物图形，演示三维空间模型，从而建构数学知识的生成过程，培养学生的直观形象能力[7].在处理解析几何和立体几何中的几何动点、动线、动面等问题时，一方面可以利用图形的生动性、直观性去描述、分析、解决数学问题；另一方面可以利用数形结合思想构建数学问题的直观模型，从数学问题的几何意义和代数意义去探索问题解决的路径.

3.3 数学抽象：建构问题解决范式

数学抽象素养是数学核心素养的重要内容，是培养学生建构一般性概念、规律、结构模型的基本路径.客观事物具有量和质的属性，而数学抽象却舍弃了事物“质”的属性，只研究事物“量”的属性，这是数学与其他自然科学的重要区别.数学抽象虽割舍了事物的“质”，但却离不开数与形，数学抽象主要有“数”的抽象(源于数学符号、概念、结构以及类比猜想等向度)和“形”的抽象(源于事物的现实具体物象等向度).

形数结合方法在一定程度上能够揭示数学研究对象的抽象背景、抽象内涵和抽象方法，有助于探究数学概念的形成过程，体悟数学抽象的形式化、精确化等特征，培育学生的数学抽象素养.

例某单位职工健身时间日均不足2 h，现从该单位随机抽查2人，问2人健身时间差的绝对值小于1的可能性有多大？

3.4 数学建模：提升数学实践能力

数学建模既是数学学科核心素养的重要维度，又是沟通现实世界与数学内部关联的纽带，还是应用数学方法解决现实问题的重要工具.数形结合方法是培育学生数学建模素养的重要抓手，一方面可以建构数学问题的直观模型；另一方面可以建构数学问题的几何意义和代数意义.数形结合方法可以采用数字、字母、符号、算法、图形等形式，重构现实世界中原型与数学结构中模型的对应关系，构建直观模型和思维模型，对现实原型进行提炼、加工和重构，从而把握现实世界中某些特定对象的内在规律.

数形结合方法可以从以下三个阶段培育建模素养：

第一阶段：从“数”与“形”的视角发现问题、切入问题，用数形结合的语言描述、表征问题，将数形结合方法作为数学化处理工具去发现问题和提出问题，完成数学建模的初始阶段；

第二阶段：借助数形结合的思维简化假设，调查分析，了解数学对象的信息，搜索相关的数学知识技能，分析其内在规律.从表征问题到求解问题，完成数学建模的解决阶段；

第三阶段：运用数形结合方法对求解的结果进行调式、检验、反思、修正，促进数学建模进入完成阶段.

例请分析某地区的人口增长率.

解析用数与形表征问题，简化假设，根据此地区的资源与环境条件计算出所能容纳的最大人口容量xm；运用导数知识计算人口增长率r(x)，它是关于人口数量x的函数，时间为t，以dx/dt分析x随t变化的情况；参照荷兰数学家Verhulst提出的分析模型，用计算机模拟出动态变化图形(图4)，并进行相关的调试、检验和改进.

3.5 数据分析：增强定量分析能力

新课程标准提出数据分析素养，这充分体现了时代的迫切需要.随着机器学习、人工智能、云计算及大数据的兴起，数据分析方法已成为适应现代社会活动的重要手段.运用数理统计和概率论方法处理海量信息，对数据中有益信息进行提取、分析和预测，是21世纪公民必备的核心素养之一.数据信息蕴含了许多关于事物内在本质及与外部联系的规律，应用数形结合的思想方法可以表征分析、定量描述，挖掘呈现在数据中隐含的信息，积累关于数据信息处理方法的鲜活经验.在收集、整理、理解、处理、解释数据时，常采用散点图、列联表、条形图、扇形图、折线图、直方图、正态分布图等工具分析处理数据信息.这些都是发展学生数据论证思维、数据分析素养的重要路径.

4 情感态度：培育学生的数学观念

4.1 数形交错：体味感悟数学文化

大千世界，纷繁变化，都离不开数与形，离不开尺度与标准，离不开定量分析与万物流形，离不开逻辑推理与直观想象.数与形的结合是理性与艺术的默契、冰冷与火热的交融、抽象与直观的碰撞、思考与创造的相遇.数与形应该是交融共生、互促互补的，不应该是分离僵化的，这也体现了一种数学文化.孙建豪等认为，数形结合是数学的一个本质特征，掌握了数形结合思想方法也就抓住了数学的精髓与灵魂[8].数形交错、变分繁复、万物流形、形数并茂，既是对客观世界的刻画，又是数学文化的特征.数量关系推演万物变化规律，空间图形描绘万物位置与运动，大自然是一部用数与形书写而成的巨著.数形融会，浸润数学美，展现了数学特有的美.张奠宙认为数学美(和谐美、奇异美、对称美、简洁美等)具有美观、美好、美妙、完美4个层次[9].欣赏数学美、体验数学美是培育学生数学观念过程中不可或缺的一个环节.数学不是单一枯燥的、形式化的概念符号，而是一座富有形数并茂的艺术宝库.数学的学习过程不是一个传授、灌输、被动接受知识技能的过程，而是主动发现、浸润、熏陶、迁移的创新意识、文化品位的过程.数学核心素养的培育不是凭空生成的，它需要情境、场域、平台、路径.数形结合的过程除了有火热的理性思考外，还有绚丽多彩的文化世界，是培养学生数学文化品位的重要渠道.

4.2 形数益彰：养成数学应用意识

数学应用意识是数学素养的重要体现，培育学生的数学应用意识是现代数学教育的基本任务.从形与数相结合的视角去认识现实世界与数学的关联，有意识地应用数量关系与空间形式相结合的方法去观察、描述和解释现实世界中的规律和现象.著名数学教育家弗赖登塔尔曾提倡数学化教育，即应用数学方法观察、分析、研究、解释现实世界中的现象和规律.数与形可以相互交融、相得益彰，对学生可以启发思考，对教师可以改进教学，有利于师生共同成长.如教师可以利用实践智慧，以生活情境为背景开展综合实践活动，构建数学模型解决现实问题等.

5 结 语

数形结合的认知范式吻合人类的心理认识规律，有着丰富的思维意蕴和教学价值，这种方法在数学诸多领域应用广泛.数形关联、数形互化、数形交融，有助于打破数形分离的静态模式，将数学核心素养培育的抽象目标转化为具体目标，有助于数学知识的再生长，有助于学生更好地培养抽象思维和形象思维，拓宽问题解决的视域，优化思维方式.数形结合是一种思维方式，也是一种认识规律，可作为数学教育的重要抓手，创设数学核心素养的培育路径.