考虑压力溶解的酸压裂缝长期导流能力模拟方法

李力 王润宇 曾嵘 刘平礼 王茜 梁冲

1. 中国石油西南油气田分公司工程技术研究院；2. 西南石油大学油气藏地质及开发工程国家重点实验室；3. 中国石油勘探开发研究院

酸蚀裂缝导流能力预测模型对于酸压效果的预测非常重要，Nierod 和Kruk 等人［1-3］使用白云岩进行模拟酸压过程时，通过酸蚀裂缝导流能力和岩石溶解量数据的对比，得到N-K 模型。N-K 经验关系式中的裂缝宽度是酸蚀裂缝理想缝宽，该模型考虑了闭合应力、岩层上覆应力、岩石溶解等因素，但未考虑岩性影响。Gomaa 等人［4］针对N-K 模型进行了修正，给出了灰岩地层、白云岩地层的修正公式。Gangi 等人［5］提出了“钉床模型”，运用等效思想将裂缝壁面颗粒等效为等直径，高度不同的柱状体；该模型未考虑蚓孔、岩性、酸液对裂缝壁面刻蚀的影响。Tsang 等人［6］在孔隙模型中引入了粗糙度的概念，得到了一种理论上可以预测酸蚀裂缝导流能力的模型，但在闭合应力作用下裂缝粗糙表面会发生形变。Gong 模型［7］考虑了酸蚀作用对岩石强度、弹塑性的影响，还考虑了酸蚀作用对酸蚀裂缝粗糙壁面的影响，得到一种拟合程度高于NK 模型的计算方法，但该模型仅能描述中等尺寸的非均匀刻蚀且实验结果没有较好的重复性。牟建业等人［8］基于N-S 方程，以极短的步长求解压力场和速度场，但该模型并未考虑闭合应力的作用。Deng 等人［9］在牟建业模型的基础上加入了闭合应力的影响因素。

国内外关于酸蚀裂缝导流能力的研究，并未着力于长期裂缝导流能力，在长期产能预测方面与实际有较大偏差。因此，考虑闭合应力的作用，考虑裂缝壁面粗糙颗粒接触后的溶解变形作用，建立了酸蚀裂缝长期导流能力计算方法，可以更加准确预测酸压后产能随时间的变化规律。

1 裂缝长期导流能力模型

在碳酸盐岩储层前置液酸压过程中，前置液压开地层形成人工裂缝，人工裂缝在闭合应力的作用下，宽度会不断降低，导流能力也相应逐渐减小。Yasuhara 等人［10］通过实验得到的裂缝宽度变化过程如图1 所示。

图1 酸压过程中裂缝宽度的变化Fig. 1 Variation of fracture width in the process of acid fracturing

1.1 理论模型

在裂缝粗糙壁面接触面上，受到闭合应力影响，粗糙颗粒发生接触变形、矿物溶解。溶解的矿物会沿着壁面水膜向孔隙空间扩散。由于孔隙中溶质浓度不平衡，扩散的物质随后会在孔隙空间的自由面上进行沉淀、溶解作用。压力溶解过程和溶质在自由面上的溶解过程是相互制约的。裂缝的宽度变化主要受矿物溶解过程、溶质扩散过程及自由面溶解-沉淀过程的影响，从而导致裂缝长期导流能力发生变化。压力溶解过程如图2 所示。

(1)矿物的溶解过程。粗糙裂缝接触表面在进行接触时候，裂缝表面的粗糙颗粒在闭合应力的作用下会发生溶解现象，而压力溶解过程主要是受到裂缝中的化学势的影响，且作用在裂缝孔隙壁面上的压力为孔隙压力。Revil 等人［11］、Heidug 等人［12］分别定义由矿物溶解引发应变速率εdiss及裂缝中的化学势差Δμ为

图2 压力溶解过程Fig. 2 Pressure dissolution process

式中，εdiss为应变速率，s−1；Δμ为裂缝接触面上的高应力点和裂缝孔隙壁面的低应力点的化学势之差，J/mol；Vm为物质的摩尔体积，m3/mol；K+为物质的溶解速率常数，mol/(m2· s)；R为理想气体常数，J/(mol · K)；T为系统温度，K；d为粗糙接触面直径，m；σa为作用在裂缝接触面上的真实压应力，MPa；Δf为裂缝接触界面处和孔隙壁面处的摩尔赫姆霍兹自由能之差，J/mol；H为粗糙接触界面的平均曲率，m−1；γ为单位粗糙接触界面上的能量，J/m2。

当裂缝内反应系统达到热力学平衡时，化学势差−Δμ为0，作用在裂缝接触面上真实压应力σa与临界压力σc达到相同，反应停止［11］。

式中，σeff为有效应力，为总应力减去孔隙压力，MPa；Rc为接触面积比，总的接触面积与裂缝总面积之比，无因次；Em为岩石熔化热，J/mol；Tm为岩石熔化温度，K；上标eq 代表反应平衡状态。

岩石溶解线性流动过程中，定义应变速率为

整理上式得到溶解质量通量dMdiss/dt为

物质溶解速率常数k+与温度间的关系为

式中，dMdiss/dt为溶解质量通量，kg/s；ρg为岩石密度，kg/m3；dc为粗糙接触面的直径，m；为参考的溶解速率常数，mol/(m2· s)；Ea为溶解活化能，J/mol。

(2)溶质的扩散。岩石在接触面溶解后，会通过扩散作用从岩石表面扩散到裂缝间的孔隙壁面上，一般使用扩散通量来描述这一过程。浓度梯度越大，扩散通量越大。根据Fick 第一定律，得到在半径为r的圆型接触面上的扩散通量Jm为

式中，w为裂缝接触界面上水膜的厚度，m；Db为扩散系数，m2/s；C为扩散物质的体积浓度，kg/m3；dC/dx为扩散物质浓度梯度，kg/m4；r为圆形接触面的半径，m。

对x在h≤x≤dc/2 的范围内积分可得

扩散系数Db与温度之间的关系可以定义为

式中，dMdiff/dt为扩散质量通量，kg/s；h为一微小长度，其作用是避免在Fick 第一定律积分中出现奇异性，取值为初始粗糙度接触面的直径dc的1/1 000，m；Cint为裂缝接触面处(x=h)溶解矿物的质量浓度，mg/L；Cpore为裂缝孔隙空间中(x=dc/2)溶解矿物的质量浓度，mg/L；D0为参考的扩散系数，m2/s；ED为扩散活化能，J/mol。

(3)溶质的沉淀和自由面的溶解。将岩石溶解物从裂缝孔隙向裂缝壁面自由面沉淀的速率定义为沉淀质量通量，将岩石溶解物从裂缝孔隙向裂缝壁面自由面溶解的速率定义为溶解质量通量［13］

式中，dMprec/dt为自由面沉淀质量通量，kg/s；k−为溶解矿物的沉淀速率常数，s−1；Apore为裂缝孔隙的面积，其值为裂缝总面积减去裂缝接触面积，m2；Ceq为平衡状态时溶解矿物的质量浓度，mg/L；m为反应级数，取m=1；为自由面溶解质量通量，kg/s；k+为溶解矿物的溶解速率常数，s−1。

1.2 裂缝接触面模型

如图3 所示，将裂缝表面接触区域简化为多个圆形接触面，直径为dc。受到闭合应力作用，假设裂缝表面只受到无滑移的机械压实作用可得

图3 裂缝局部接触表面示意图Fig. 3 Sketch of local fracture contact surface

Yasuhara［14］通过分析裂缝剖面数据，提出了裂缝平均宽度和接触面积比之间的关系式为

式中，b为裂缝平均宽度，m；br为裂缝残余宽度，m；b0为裂缝初始宽度，m；Rc0为裂缝接触点的初始面积比；a为经验常数。

1.3 裂缝宽度的计算

裂缝的宽度主要由溶解和扩散过程及自由面溶解/沉淀过程贡献的。对于溶解和扩散过程有

通过上面一组方程可以得到Rc，代入式(15)可求得由裂缝粗糙接触面上的溶解和扩散作用引起的裂缝宽度变化bc(式15 得出的b值)，还需要计算在裂缝孔隙表面由于自由溶解和沉淀过程引发的裂缝宽度变化bF。

综合上述计算，t时刻总的裂缝平均宽度为

1.4 裂缝内溶解矿物浓度的处理

当计算t时刻的裂缝平均宽度时，需要先得到t时刻Cint和Cpore的值。酸蚀裂缝闭合过程中，裂缝的闭合、压实过程都受控于裂缝内的物质浓度。如图4 所示，(1)、(2)、(3)分别代表裂缝接触面溶解、扩散和沉淀这3 个过程。这3 个过程分别对应裂缝接触面处的浓度Cint、裂缝孔隙空间中的浓度Cpore和裂缝壁面处的平衡浓度Ceq。其中(1)到(2)由扩散作用决定，(2)到(3)由沉淀作用决定。

图4 浓度变化过程示意图Fig. 4 Sketch of concentration change process

Yasuhara 通过实验得到结论［10］：成岩作用产生的沉淀矿物并不是长期导流能力损失的最重要原因，但这个过程真实存在。计算中忽略沉淀过程对裂缝宽度的改变，仅考虑扩散作用影响得

式中，qi和Ci(i=1、2)分别为(1)、(2)处的质量通量和浓度；VP为孔隙体积，m3。

将q1=dMdiss/dt，q2=0，C1=Cint，C2=Cpore带代入式(23)并展开，可得酸蚀裂缝接触面处的浓度Cint为

溶解矿物的转移参数决定孔隙间浓度Cpore为

式中，Q为流量，m3/s；Δt为时间步长，s。

2 算例分析

结合以上研究，可分别计算溶解、扩散、自由面溶解/沉淀过程中每个时间步长内的裂缝导流能力变化。初始导流能力可以结合N-K 方程及初始裂缝宽度进行赋值。经过单时间步长计算后，可以得到更新后的裂缝宽度。该计算是在统一温度系统中进行耦合求解的，因为溶质的平衡浓度Ceq一般是通过实验数据获得，无法与温度形成函数关系。通过编程求解，计算酸压后每个时刻的酸蚀裂缝导流能力变化。模拟输入参数如表1 所示。

表1 酸蚀裂缝长期导流能力计算输入参数Table 1 Input parameters for calculating the long-term flow conductivity of acid-etched fracture

初始缝宽为5.52 mm 时，经过500 d 的生产，缝宽变为5.17 mm。初期缝宽损失速度较大，后期趋于平缓，模拟结果如图5 所示。通过N-K 方程可以计算出酸蚀裂缝导流能力。设定初始导流能力分别为30、40、50 μm2· cm 时，相对初始导流能力为20 μm2· cm 的情况，裂缝导流能力下降速度相对较快，且初始导流能力越高，导流能力下降速度越快，曲线最终都趋于平缓，如图6 所示。其中，经过300 d的生产，初始导流能力为50 μm2· cm时，下降了6.79 μm2· cm；初始导流能力为40 μm2· cm时，下降了5.40 μm2· cm；初始导流能力为30 μm2· cm 时，下降了4.03 μm2· cm；初始导流能力为20 μm2· cm 时，下降了2.65 μm2· cm。在生产300 d 到生产500 d 的范围区间内，导流能力的降低非常缓慢，逐渐趋于稳定。

图5 初始导流能力为30 μm2 · cm 时裂缝中固定点宽度随时间变化曲线Fig. 5 Variation of fracture width at the fixed point over the timeat the initial flow conductivity of 30 μm2 · cm

图6 裂缝导流能力随时间变化曲线Fig. 6 Variation of fracture’s flow conductivity over the time

如图7 所示，随着生产的进行，裂缝宽度会逐步减少，裂缝接触面积比会逐步增大。这就造成了以下趋势：随着裂缝宽度的下降，裂缝导流能力下降，裂缝宽度下降速率放缓，裂缝导流能力下降速率放缓。

图7 初始导流能力为30 μm2 · cm 时裂缝接触比变化曲线Fig. 7 Variation of fracture contact area ratio at the initial flow conductivity of 30 μm2 · cm

图8 裂缝局部长度的开度随时间变化曲线Fig. 8 Variation of the opening of the local fracture length over the time

以单翼裂缝为研究对象，在图8 中绘制出模拟生产1～500 d 时的裂缝开度曲线。缝口处的裂缝初始开度较大，裂缝间初始接触面积比较小，裂缝接触面上的有效应力较大，压力溶解作用较强，裂缝开度下降较快，模拟生产1～500 d 时，缝口处的裂缝宽度下降了0.36 mm。裂缝末端的裂缝间初始接触面积较大，其压力溶解作用相比于缝口处较弱，模拟生产1～500 d 时，开度仅下降了0.25 m。在模拟生产400 d 后，σa与σc之间的应力间差异已经非常微弱，压力溶解反应逐渐停止，裂缝开度下降速度逐渐平稳。

如图9 所示，裂缝之间的初始面积比对酸蚀裂缝的长期缝宽变化有着较大的影响：初始接触面积比越大，相同施工条件和生产时间下，裂缝宽度变化越小；初始接触面积比越小，相同施工条件和生产时间下，裂缝宽度变化越大。初始接触面积比为0.1 时，经过500 d 的生产，缝宽下降0.31 mm，相比于初始接触面积比为0.03 时，缝宽同期下降0.53 mm。初始接触面积越大，意味着裂缝壁面之间的接触面积越大。在单轴压应力条件下，作用在裂缝接触面上的真实压应力相对较小，压力溶解作用相对较弱，裂缝壁面物质损失量较少，缝宽变化幅度较小。

根据上面的研究内容，通过控制单一变量的方法，对比分析考虑酸蚀裂缝导流能力变化的储层压降与定导流能力生产的储层压降。假定裂缝为100 m的双翼裂缝，裂缝的初始平均宽度为5.38 mm，井的供给半径为400 m，储层的孔隙压力为24.8 MPa，井底流压为21.3 MPa。其他参数均设置为相同数值以保证模拟结果的可对比性，模拟生产200 d，模拟结果如图10 所示。固定酸蚀裂缝导流能力所计算出的单井产能，比考虑酸蚀裂缝长期导流能力变化的计算结果偏大。生产初期定导流能力条件下的单井日产能，比考虑酸蚀裂缝长期导流能力变化的单井日产能多出20 m3/d。在生产200 d 时，这种差异变为3.4 m3/d。这部分的差异是由生产过程中产生的裂缝宽度损失造成的。裂缝是储层与井筒之间非常重要的沟通桥梁，裂缝宽度的变化会导致裂缝导流能力的变化，从而影响油气渗流。

图9 不同初始接触面积比下酸蚀裂缝宽度变化Fig. 9 Variation of acid-etched fracture width at different initial contact area ratios

图10 酸蚀裂缝导流能力与单井日产能关系曲线Fig. 10 Relationship between the flow conductivity of acidetched fracture and the single-well daily productivity

模拟生产200 d 后，得到如图11 所示的储层纵剖面压力曲线，其中横坐标原点为井筒位置，考虑酸蚀裂缝长期导流能力变化的压力曲线与定导流能力压力曲线都形成压降漏斗。考虑酸蚀裂缝长期导流能力变化的储层压力下降小于同时期恒定导流能力生产的储层压降。由于考虑了生产过程中酸蚀裂缝的宽度损失，压降漏斗扩展过程缓慢，储层油气资源动用程度较低。由此可见，在进行油气井产能预测模拟时，酸蚀裂缝长期导流能力变化的影响是不可忽略的，考虑酸蚀裂缝长期导流能力的变化更贴近实际生产情况。

图11 模拟生产200 d 后储层压力曲线Fig. 11 Reservoir pressure curve after 200 d simulated production

3 结论

(1)酸蚀裂缝初始导流能力越高，压力溶解作用越强，裂缝导流能力下降的越快，导流能力曲线最终都趋于平缓，初始导流能力大小会影响稳定后导流能力的高低。

(2)酸压设计时需根据岩性选择合适的酸压工艺和施工参数，获得比较宽且深的刻蚀沟槽，从而得到较大的初始接触面积比，可以有效降低酸蚀裂缝缝宽损失，从而可以较长时间保持裂缝的高导流能力。

(3)在进行酸压前产能预测时，考虑酸蚀裂缝长期导流能力的变化会更加吻合实际情况，压力溶解效应对酸压裂缝宽度变化所带来的影响不可忽略。