“同心鼓击球”运动时力度与轨迹变化调整策略

崔冉冉 葛立芸 姜 科

(1.青岛理工大学管理工程学院，山东 青岛 266520；2.青岛理工大学信息与控制工程学院，山东 青岛 266520)

1 问题分析及假设

首先，我们分析了理想状态下球和鼓的运动，得到时间轨迹如图1。

为了将球的跳动方向由倾斜状态改为竖直状态，需要调整鼓的倾斜角度，使得鼓的倾斜角度和球的跳动方向的倾斜角度相同，以此来抵消球的水平方向分速度。假设第i个队员在ti时刻发力，队员对发力时机的误差为1s。Fi是沿绳方向的恒力。Fi可分解为水平方向和竖直方向2个方向上的分力。水平方向分量仅作用于空心鼓的水平移动，鼓面倾斜仅取决于竖直方向分量。在描述队员的发力时机和力度与某一特定时刻的鼓面倾斜角度的关系时，可只考虑Fi的竖直分量。将鼓面倾斜看做刚体定轴转动，该项目的道具是一面牛皮双面鼓，可将鼓简化成薄壁圆筒。

图1

其中，λ为环密度。依据垂直轴定理

Jz=Jx+Jy

因为圆环任意两个方向对称，所以

Jx=JyJz=mR2(Jz为均匀圆环的转动惯量)

而经分析可知，仅竖直分量对鼓的旋转有影响，将所有竖直分量的力矩相加得到总力矩和：

对于此式，应在不同时间段分阶段计算总力矩和，下面为力与时间的函数关系：

将鼓面倾斜视为刚体定轴转动，由刚体定轴转动定律可求得鼓转动的角加速度：

Mz=Jcβ

而调整鼓的倾斜角度可考虑以下方案：仅改变部分队员的用力大小，所有队员的发力时机相同；仅改变部分队员的发力时机，所有队员用力大小相同。由于球的倾斜角度介于2位队员之间，因此仅需要调整球的倾斜角度两侧队员的发力策略。

为了更好地解决问题，本文在此给出以下假设：

(1)假设忽略鼓和排球运动过程中的空气阻力；

(2)假设忽略鼓和排球撞击过程中的阻尼运动，不计能量损耗；

(3)假设队员们无差别，即简化为n个相同的队员站成圆形，初始时刻每个队员以相同姿势手握绳子末端，能使得鼓面保持平行状态；

(4)假设忽略双面牛皮的重量，鼓可简化成薄壁圆筒；

(5)由于鼓倾斜度角度较小，假设其对绳夹角大小和力矩的影响可以忽略；

(6)假设其它未考虑因素对所求结果影响不大。

2 模型的建立

第1步：队员间距离应满足大于0.6m的条件：

第2步：由几何关系可知，鼓最后的倾斜角度与撞击前瞬间排球速度与竖直方向夹角相等。由抛物线运动的性质：初速度与竖直方向的夹角和下落到相同高度时速度与竖直方向夹角相等，即：δ=φ

第3步：给定其余队员的用力大小，将2位队员的发力大小设为未知数，计算所有队员对于鼓的转动轴的力矩和所有队员产生的总力矩：Mi=ri×Fi

第4步：所有队员产生的总力矩应该与球的倾斜方向在水平面的投影垂直：Mz·rσ= 0

求得鼓的角加速度并求出合力矩：

Mz=Jcβ

利用以下公式将弧度转化为角度：

由以上可求得这2位队员的用力大小。

3 模型的求解

方便起见，假设0.11s时队友施加力后，鼓的倾斜角度为预定值；队员间距离等于0.6m。代入8位普通队员的用力大小为80N，即：Fi=80N，i=3，4，…，10

得到2位队友的用力大小分别为：F1=77.407879N；F2=78.674985N

即在发力时机相同的时候，队员1用力77.407879N，队员2用力78.674985N。

对于另一种情况：所有队员大小相同，部分队员发力大小不同，计算方式与此类似，不再赘述。

4 策略的现实意义

(1)实际情况下，所有队员的发力情况不可能被精准控制，排球和鼓在空气中运动会受到的空气阻力，撞击过程中还存在阻尼运动和能量损耗。故此，调整策略的实施效果有折扣，但对球方向的调整有积极作用。

(2)本文对于维持鼓面平行的模型可以推广至工地塔吊高空运输平衡器的研发，乒乓球、网球等拍击球类运动中，调整球类运动轨迹的分析中。