偏心轮六足机器人爬坡稳定性分析

李晓理， 张超， 赵艳领， 朱晓庆， 薛艾琳

(1. 北京工业大学 信息学部，北京 100124; 2.计算智能与智能系统北京市重点实验室，北京 100124; 3. 数字社区教育部工程研究中心，北京 100124; 4. 北京未来网络科技高精尖创新中心， 北京 100124；5. 机械工业仪器仪表综合技术经济研究所，北京 100055)

如今机器人的需求以及应用场景的多样化逐步加深，对非结构化地形的良好适应性往往是户外工作机器人设计中必须考虑的一项. 机器人种类繁多，从其运动方式上来说大致分为足式、轮式、履带式. 足式步行机器人研究目前较为热门，基于离散的运行步态，足式机器人可以选择最优的落地点，增加稳定性. 典型的双足机器人具有控制自由度少、能耗低的优点，通过微小的能量输入，可以实现拟人的自然步态，将运动过程中的动能和势能合理转换成等效的驱动能量，实现动态双足机器人多工况、多任务的稳定型周期运动[1]，但是不可否认的是目前双足机器人由于其结构的复杂性，在实际应用中还存在着较大的限制，且其运行效率相对较低[2]. 履带式机器人与轮式机器人在运行速度方面占优势，但其环境适应性较差，在复杂多变的地形中运动容易受限[3]. 在自治式移动机器人的研究中，以仿生的思想设计机器人，是当前该类机器人的一个大的研究方向，杨贵志等[4]描述了类似蛇形结构的移动机器人，Chen 等[5]研究了模仿毛虫的运动形态的机器人，并给出了其运行姿态. 此类机器人模仿自然界生物的机体结构和与之相适应的运动模式，在越障方面取得了良好的效果. 马宗利等[6]研究了仿猎豹四足机器人. 西南大学的谭兴军等[7]研制了一种以蟑螂为原型设计的偏心轮式的六足机器人，本文在其基础上对机器人进行进一步封装与升级，将电池与无线模块部分封装进机器人实体中，使其能够真正地在室外运行. 在控制器设计上也采用了更为先进的仿生CPG控制方法[8]，偏心轮足材料使用了韧性更好的弹簧钢.

移动式机器人在进行工作时首先要保证自身的稳定性，即不翻倒、不摔跤. 对于机器人运行稳定性的分析，Mcghee等[9]最早提出了一种静态稳定裕度(static stability margin，SSM)方法，该方法定义质心在水平方向上的投影与支撑边的最短连线作为稳定性的衡量标准，但是这种方法不能适用于非平坦地形的环境中. Messuri等[10]介绍了能量稳定裕度方法，将使机器人倾翻的最小能量值定义为稳定裕度，该方法后来被进行了拓展，能够反映机器人内外部负载对稳定性的影响[11]. Papadopoulos等[12]介绍了一种力角稳定性方法分析机器人的动态稳定性. 上述方法均对机器人在运行过程中的稳定性进行了研究. 偏心轮六足机器人机械结构较为特殊，使用特定的爬坡步态时，其重心位置会持续发生移动，通过稳定锥方法[13-15]结合力角稳定性方法进行该偏心轮六足机器人爬坡稳定性的分析.

本文主要提出一种与偏心轮六足机器人机械结构相适应的爬坡步态规划，并对其在爬坡过程中的稳定性的进行了分析，最后通过仿真和物理实验进行该步态稳定爬坡的可行性验证与说明.

1 爬坡过程稳定锥分析方法

1.1 几何关系

针对机器人爬坡过程中不倾倒的问题，本文采用稳定锥方法和力角稳定性方法进行稳定性分析. 为了简化问题，设机器人重心位置Pc是稳定锥的锥点，并以Pc为原点建立坐标系，如图4所示. 对于机器人所有可能触地的点或面来说，只需考虑最外侧的触地点或者面，一般而言触地点或者触地面在水平面的投影构成一个凸多边形. 如图1所示，Fr是除向上的支持力外包含重力的外力之和. 对于需要考虑的机器人最外侧着地点Pi(i=1,2,…n)，将其相对于Pc的矢量按顺时针方向定义为Pi(i=1,2,…,n).

(1)

将各着地点按顺时针方向连接起来，定义为倾翻边线ai(i=1,2,…,n).

ai=Pi+1-Pi(i=1,2,…,n-1),

(2)

an=P1-Pn.

(3)

将穿过机器人重心Pc且垂直于倾翻边线ai的向量定义为该倾翻边线法向量li(i=1,2,…,n)为

(4)

式中：

(5)

I为3×3的单位矩阵. 定义Fr和li的夹角为倾翻边线的稳定角θi.

1.2 力学分析

对机器人的受力情况进行分析，由牛顿力学得出以下力学方程：

∑fin=∑(fg+fm+fs+fd).

(6)

式中：fin为机器人的惯性力；fg为机器人受到的重力；fm为系统受到的载荷力;fs为系统各支撑部件受到的支持力，为方便分析，忽略机体运行时的惯性，认为此时的支持力就等于地面对机体的反作用力;fd为其他直接作用在机体上的外部扰动力；Fr为作用在重心上并可能会引起机器人倾覆的合外力，由式(7)得出

Fr=∑(fg+fm+fd-fin)=-∑fs.

(7)

同理，作用在重心处的合力矩τr可以通过下式得出

τr=∑(τg+τm+τd-τin)=-∑τs.

(8)

当系统处于静态时，系统只受重力∑mgi，此时作用在重心处的合力Fr与合力矩τr为

Fr=∑fg=∑mgi,

(9)

τr=∑τg.

(10)

由稳定锥几何关系可得，Fr作用在倾翻边线ai上的力Fri为

(11)

τr作用在倾翻边线ai上的力矩τri为

(12)

(13)

其中：

(14)

1.3 稳定性指标

使用稳定锥方法，评判稳定性的指标为如下两个夹角.

(15)

可得

(16)

θi的范围为

-π≤θi≤π.

(17)

(18)

可得

(19)

(20)

(21)

考虑系统的全局稳定性，取

εi=min(θi,βi,β′i).

整个系统的最小稳定角εmin为

εmin=min(εi)(i=1,2,…,n).

(22)

当εmin为正值时，机器人处于稳定状态. 当εmin为负值时，表明质心所受的向下的等效力的方向在倾翻边线之外，这样的系统是不稳定的，会发生倾翻. 当εmin为0时，系统处在临界稳定状态.

机器人在不翻倒的前提下能够持续地爬坡，整个系统所受的驱动力是由偏心轮足与坡面间的摩擦力提供的. 在持续爬坡的过程中机器人系统始终与地面接触，因此可以将机器人看作一个实体. 作机器人在爬坡过程中的受力分析，如图2所示，为保证机器人能够持续爬坡，由几何关系可得

(23)

即

α≤arctanμ.

(24)

式中:α为坡面夹角;μ为机器人与地面的摩擦因数;m为机器人质量.

2 偏心轮六足机器人爬坡稳定性分析

2.1 波浪爬坡步态

由于本文所研究的机器人足结构为偏心轮构造，各足运动的角度不同，必然会导致着地点的坐标发生变化. 所以，在讨论机器人爬坡的稳定性之前先介绍本六足机器人爬坡所采用的步态. 如图3所示，本六足机器人在爬坡过程中采用类似于波浪形态的步态模式. 在准备阶段，6只足均呈相同的姿态着地，在机器人准备上坡之前，各足姿态必须先调整为此模式，如图3中的第一个状态所示. 随后的7个状态展现了机器人以此种步态爬坡时的整个运动周期. 采用这种步态时，机器人的六只足被分成前中后3组，在运动过程中交替变化，波浪步态因此得名.

6只足平均分布于机体的外侧，如果提供的支持力大小不一致，则机器人在运动过程中相应的几个支点受力不均衡，即在本该保持平衡的方向上产生多余的分力致使机体在运行过程中会发生扭斜造成姿态紊乱，因此六只足高度的协调性是波浪步态的前提. 为保证偏心轮足的运动同步性，在电机的控制器设计中，采用了经典的基于位置、速度、电流三闭环控制系统，通过这3个量的实时反馈，控制系统能极大限度地减小由偏心轮足触地产生的瞬时扰动对系统的干扰，保证电机能够维持一定的运行速度，达到由CPG产生的目标位置值. 以竖直向下为初始位置(下文角度数均相对于此初始位置，顺时针旋转为正方向)，如图3所示，第2阶段时，前一组足先逆时针运行至-180°处，机体依靠后两组足着地支撑. 第3个阶段顺时针运行至325°处，在第4个阶段所有的足均运行至87°. 其中阶段3到阶段4的过程中，机器人会稳步前进. 在第5个阶段，后一组足顺时针运行至180°处，通过之后的3个阶段的运动，完成整个周期的运动变换，再次进入第2阶段，进行新一轮的爬坡运动. 类似于自然界中的爬行动物，机器人的足在悬空阶段时运行速度较快，触地阶段时速度较慢.

2.2 机器人爬坡稳定性分析

整个爬坡过程中，除着地点位置会发生变化外，其重心位置亦会发生上下移动. 通过阶段2的分析，在机器人稳定性判定中，需要考虑着地点、倾翻边线的法线与机体所受合力方向的夹角. 在爬坡过程中机体与地面应始终保持一定的距离，防止当遇到崎岖的坡面时机体底部与坡面触碰，从而发生一定程度的倾斜或侧移.

系统的稳定性保证了机器人在爬坡过程中不会倾倒. 另外，需要满足机器人能够持续爬坡的要求，保证机器人在爬坡过程中有足够的牵引力，才不至于沿坡面下滑. 经实验测得缠上橡胶的足与实验地面间的摩擦因数μ的范围在0.5～0.7之间，取μ=0.65，根据阶段3中的分析，由式(24)得出该机器人能够持续爬坡能适应的最大坡度为

α≤arctanμ= 33.02°.

(25)

从图3所示的步态示意图可以发现，在机器人的爬坡运动过程中，阶段2和阶段5机器人容易发生倾翻，而其他几个阶段均能保持重力矢量的方向位于各着地点形成的多边形内部，满足稳定锥给定的稳定条件，系统是稳定的. 其中阶段2易前倾，阶段5易后仰. 针对这两个临界的状态进机器人稳定性分析.

为了方便分析，给出六足机器人运行至阶段2时的俯视图和侧视图，如图4和图5所示，并以此建立稳定锥模型. 由图4可知，机器人运行至此阶段时，中、后四只足支撑坡面，等待前两只足落下，4个着地点次序连接在坡面形成一个四边形. 对最外侧机器人所有可能的着地点Pi(i=1,2,…，6) 按顺时针方向进行编号，并将所有的着地点连接起来，相邻的着地点间构成的连线作为倾翻边线. 以机器人重心pc所在位置建立直角坐标系，并过pc分别做6个倾翻边线ai(i=1,2,…，4)的法线li(i=1,2,…，4). 在爬坡过程中，根据稳定锥模型分析，机器人着地和倾翻边线的法线li相对于机体重心处所受等效合力的夹角决定机器人在坡面上的稳定程度. 此时机器人易以中间一组足为支点向前倾倒，最可能发生倾翻的着地点是P3，最危险的倾翻边线是a3. 机器人壳体部分为对称结构，其质心位置在机体的中央位置，P2，P3与坐标轴原点的相对关系是相同的. 如图5所示，以质心pc为原点建立空间直角坐标系x，y轴平行于水平面，x方向水平向左，y方向垂直纸面向外，z轴竖直向上.

将pc处的坐标原点在xoz方向的机体最外侧所处的的平面的投影o′(如图4中侧视图所示，o′处于机器人外侧中间轮与机体的连接处)与P4的连线同水平方向构成的夹角γ作为衡量机器人以此种波浪形爬坡步态运行时相对于坡面的角度. 设机体底部与坡面的距离为H0，其轮足的直径为R，倾翻轴a2，a4的法线向量l2、l4在xoz平面上投影l′2、l′4，θi(i=1～4)为机器人爬坡时重力矢量与各倾翻轴法线向量li(i=1～4)在xo′z平面上的夹角，α为当前时刻的斜坡坡度. 则由几何关系可知

H0<‖l′2‖≤R.

(26)

由图3所示的步态示意图可知，阶段2和阶段5时机体距离坡面最近. 为保证机体在运行过程中不与地面触碰，机体底部与坡面的距离h的最小值H0应为正值，本文提出的这种步态适用于一般常见坡面，在尺寸方面作如下设计：H0=5 cm，R=12 cm，W=11.3 cm，W是机体宽度的1/2. 机器人为对称结构，在坡面上一般不会产生左右翻转运动，本文主要分析其因俯仰运动而使机身产生不稳定运动的情况，且双侧的角度关系是一样的，因此只需用分析单侧的角度关系，由图4，图5得各着地点坐标如下：

P1=[‖l′4‖sinθ1-W-‖l′4‖cosθ1]T，

(27)

P2=[-‖l′2‖sinθ2-W-‖l′2‖cosθ2]T.

(28)

P3=[-‖l′2‖sinθ2W-‖l′2‖cosθ2]T.

(29)

P4=[‖l′4‖sinθ1W-‖l′4‖cosθ1]T.

(30)

根据图5，由几何关系可知:

(31)

(32)

将式(31)代入式(26)可得

α-θ<0.

(33)

系统稳定的前提是临界稳定性指标应εmin为正值，即质心受力方向与倾翻边线的法线以及对应的着地点间的角度均为正值. 在实际的应用中，为了保证机器人在爬坡过程中具有较好的稳定性，该阶段设置其临界稳定性指标εmin中的θ1为35°，即

min(θ1,θ2)≥35°.

(34)

分别对偏心轮足着地点的位置矢量P1，P2，P3，P4进行标准化处理：

(35)

(36)

(37)

(38)

机器人爬坡运动时，在竖直向下的方向上只受到重力.M为机器人质量，g为重力加速度，其重力矢量表示如下：

Fr=[0 0 -Mg]T.

(39)

足着地点P1，P2之间连线构成的倾翻边线a1、a4由下式表示出来：

a2=P3-P2,

(40)

a4=P1-P4.

(41)

将点P1，P2的位置矢量带入式(40)(41)得

a2=[0 2W0]T.

(42)

a4=[0 -2W0]T.

(43)

由式(2)(4)(42)(43)得其过原点的倾翻边线a2、a4的法线l2、l4分别为

l2=[‖l′2‖sinθ20 -‖l′2‖cosθ2]T.

(44)

l4=[-‖l′4‖sinθ10 -‖l′4‖cosθ1]T.

(45)

θ1=35°.

(46)

β1=β4=51.32°.

(47)

β2=β3=70.609°.

(48)

参照图3的机器人运动步态可知，在之后的阶段3及阶段4，6只偏心轮足同步顺时针转动，支撑机体在坡面向上、向前移动. 在这两个阶段中，机器人6只足均着地，其重心向量必定位于各足着地点次序相连所形成的凸平面中，因此整个系统在这个过程中是稳定的.

当机器人运行至阶段5时，该姿态具有一定的不稳定性. 采用与阶段2同样的分析方法. 该阶段机器人稳定锥模型如图6、图7所示. 此时机器人4只足的着地点分别为P′1、P′2、P′3、P′4，最危险的倾翻边线为a′4，它的法线为l′4在xoz平面的投影为l″4，α′为当前时刻的斜坡坡度. 如图6所示，在此阶段机器人姿态示意图中可以看出θ′2明显大于θ′1，因此机器人只可能发生后仰运动. 分析同上，为了保持稳定性，在该阶段下通过设置其临界稳定性指标εmin中的θ′1为20°，即

min(θ′1,θ′2) =θ1≥ 20°.

(49)

P′1=[‖l″4‖sinθ′1-W-‖l″4‖cosθ′1]T.

(50)

P′4=[‖l′4‖sinθ′1W-‖l′4‖cosθ′1]T.

(51)

(52)

将P′1、P′4标准化处理

(54)

倾翻边线a′4表示如下：

a′4=[0 -2W0]T.

(55)

a′4的过pc的法线l′4为

l′4=[-‖l″4‖sinθ′10 -‖l″4‖cosθ′1]T.

(56)

(57)

综上所述，在保证机器人系统能够持续爬坡的前提下(机器人系统在摩擦力的作用下不下滑)，结合多次实验得出其能最大攀越坡度为33°左右. 在此基础上针对爬坡过程中易发生倾翻的阶段2与阶段5分别设置了稳定性指标中的参数θ的值，并以此为根据对机器人主要尺寸进行设计，保证机器人在行进中不会沿倾翻边线翻倒，并求出机器人重力矢量与各着地点的夹角，即稳定性指标中的β角均为正值，机器人亦不会于各着地点发生倾翻，满足稳定锥的稳定条件，系统状态稳定. 在其他状态中，机器人始终处在稳定的状态，表明该六足机器人使用波浪爬坡步态爬坡有较大的稳定裕度.

3 实 验

3.1 仿真实验

在进行物理样机爬坡实验之前先在机器人物理仿真平台V-REP中建立机器人模型，其中各主要参数的选取参照2.2. 在仿真环境中使用Lua脚本程序设计控制器，约束各个电机的扭矩、额定转速，设置机体所使用的材料与实际物理平台一致以保证惯量的相同. 与土堆相接触的偏心轮足材料的摩擦系数设定为0.65. 图8是截取自仿真软件运行时的视频截图. 实验环境中土坡坡度为33°，该仿真实验完整展现了2.1中给出的一个周期的运动. 图中竖直方向上的白线表示重力矢量的方向，整个运动过程中，均处于支撑点所形成的多边形内部，机器人未发生倾翻，证明了该波浪爬坡步态的可行性.

六足机器人在爬坡的过程中，离散步态与连续步态相结合. 偏心轮足离散地选择落脚点，爬坡时连续地提供向上向前的驱动力. 在之前的步态、机械结构设计中，为防止机体底部触地，设定了一个离地临界值H0，在遇到崎岖坡面时，实验表明只要坡面的障碍物高度小于5 cm，本机均能克服. 如图9所示，在仿真环境中机器人爬上较为崎岖的坡面.

3.2 物理样机实验

图10展现了实物机器人利用波浪形步态爬坡的过程，图片截取于行进过程中的视频截图. 实验所用的物理样机的重心在机体的几何中心，在测试中，使用波浪步态，机器人能平稳地爬上斜坡，试验中坡面的角度在28°左右. 爬坡过程中使用的步态

与图6呈现的一致. 在运动的过程中机体也未与坡面发生碰触. 在第5阶段至第8阶段，机器人先后运动后、中、前三组足恢复到阶段一，进入下一个爬坡周期，在整个过程中，足悬空时运动速度较快，触地时运动速度较慢.

实物爬坡实验演示视频地址：https://v.youku.com/v_show/id_XNDE0MDkwMDM3Mg==.html?spm=a2h3j.8428770.3416059.1.

4 结束语

本文介绍了一种偏心轮式的六足机器人和与之相适应的波浪模式的爬坡步态，采用稳定锥的模型进行了机器人爬坡稳定性分析. 在之后的爬坡实验中，实验表明该六足机器人采用波浪爬坡步态，能够有效地应对常见的坡面地形，并且能够克服一定程度的崎岖坡面. 对于电机系统来说，本机采用直流有刷电机，噪音较大，在后期可以将其替换为直流无刷电机以获得稳定的控制.