查找错因 纾解“因式分解”之惑

杨秀园

运算是数学的灵魂，因式分解作为等式的恒等变形运算，也是每年中考数学的必考内容。根据教材知识点，同学们除了应该掌握提公因式法、分组分解法、公式法、十字相乘法等基本方法外，还应该结合不同的多项式，灵活选择特殊的分解方法，如换元法、拆项添项法、主元法等，以提高因式分解解题能力。当然，该节内容也是初中数学的教学难点，很多学生在对因式分解的方法和技巧学习时出现共性错误，通过梳理这些错因，有针对性地施以指导，让因式分解迎刃而解。

一、在因式分解中概念模糊的共性错误与成因剖析

将一个多项式转换为几个整式的积的形式，就是对多项式进行因式分解。在实际解题中，很多学生会对因式分解的概念产生错误理解，以致于在对多项式进行因式分解时，分解不彻底，未能化成“积”的形式。如某题中：，在进行因式分解时，有学生这样做：原式=。很显然，从概念来看，最终化解的式子并非“积”的形式，而是“减”式。之所以出现这种错误，与学生对“积”的形式理解不到位有关。观察该多项式可以发现后半部分符合，因此，可以将后半部分进行组合，将原式化成。所以说，概念混淆，导致最终因式分解未能转换成“积”的形式。不过，还有学生虽然认识到“积”的形式，但却忽视“整式”的积的形式。如在某题中：，对该多项式进行分解时，有学生这样做，原式=。看似是“积”的形式，但对于因式部分却不是整式，正确的解法应该运用十字相乘法，将原式=。在因式分解中，数式分解是有范围的。如某题中：，有学生在对原式进行分解时，将原式=，从有理数范围来看，这种解法是正确的，但对于实数范围而言，显然是错误的。应该将原式=。另外，有些学生在对多项式进行分解时，忽视了“恒等变形”。如某题中：，有学生这样解，将原式=，通过对原式中的每一项都乘以“2”，使其符合平方差公式法，但对于原式，却破坏了因式分解的“恒等性”，因此，需要将提出来，得到原式=。

二、在因式分解中分解方法不熟练的共性错误与成因剖析

在基本的因式分解方法学习中，一些学生对解法不熟练，使得解题错误千差万别。现着重就其共性错误进行梳理，提醒学生能够从这些错误中不断纠正，提高解题正确率。提公因式法是最基本的因式分解方法，在进行公因式提取时，要对多项式的每一项进行细致对照，不能漏项。如某题中，该多项式的每个部分都有，可以作为公因式提取出来，另外，对于各项的系数，“20”、“15”、“5”，都有公因式“5”，但有学生在运用提公因式法时，将原式=。观察该“积”的形式，显然是存在漏项。剖析其原因，一方面可能是学生马虎，粗心造成的，另一方面可能是对“分配律”理解不深刻，正确的解法应该是原式=。无独有偶，当公因式在提取时，如果前面有“负”号，则括号内的各项要变号。但有学生忽略变号问题。如某题中：，梳理各项，都有公因式“”，由于第一项为“负号”，所以在提取时要将“”作为公因式，后面的各项符号要变化。正确的解法应该是原式=。在运用十字相乘法时，有学生未能将“ab=q”且“a+b=p”作为必要条件，导致因式分解错误。如某题中：，很多学生通过十字相乘法，得出“”，于是便将原式=，但仔细观察学生的解题过程发现，虽然满足“ab=q”，但对于“”，所以原式分解方法是不正确的。在运用分组分解法时，需要把握各组之间仍有公因式可提，或者各组还可以运用其他分解法来继续分解。但一些学生，仅仅关注各分组的分解，却忽视两组间的分解。如某题中：，将原式=，导致该式分解中未能实现“积”的形式。剖析其原因，主要是学生在提取公因式时，忽视了两组间的继续分解，应该对分组进行优化，确保两组间能够继续分解。正确的解法应该是原式=。

三、在因式分解中对特殊解法的灵活运用

在中考数学试题命题中，除了对基本概念、算理、方法的考查外，还会适当延伸和增加試题难度。以因式分解类题型为例，除了常规分解因式方法外，学生还要能够根据不同的多项式特点，选择合理的分解技巧和方法，来化繁为简，化难为易。如某题中：，观察该多项式，似乎没有公因式可提取，采用分组法也难以分解，因为没有一次项。这时，我们可以利用拆分法，将“5”进行拆分为“1”和“4”，来创造因式分解的条件。由此，原式=，前者可以利用立方和公式，转换为，后者可以利用平方差公式，转换为，最终得到。除了拆分，还可以采用添项法，来构成便于因式分解的多项式。如某题中，观察该多项式，无法直接进行因式分解。但可以通过添加，再减去两个项，则将原式转换为，前三项可以构成平方和公式，与后面的构成平方差公式，从而让因式分解得以完成。需要强调的是，同学们在进行多项式拆项、添项时，一定要观察多项式结构，要确保后续各项间能够进行继续分解。

总之，因式分解对学生数学知识、技能、思维、方法考查较高，学生在进行多项式分解时，要细心，要灵活选择适当的分解方法，特别是面对常规方法无法解决的多项式时，要尝试从添加项、换元法、巧妙组合等途径，来创造条件，突破难点，激活数学思维，提高解题能力。

（作者单位：遵义市湄潭县大芦学校）