页岩水平井重复压裂现地应力场计算方法

李奎东 纪国法 刘 炜 肖佳林 李少明 熊力坤

1.中国石化江汉油田分公司石油工程技术研究院 2.长江大学·非常规油气湖北省协同创新中心3.长江大学·湖北省页岩气开发工程技术研究中心

0 引言

页岩气的有效开发得益于水平井分段压裂改造技术，但投产后产量递减快、稳产期短[1-6]。重复压裂作为重新获得经济产量的重要工艺技术引起了国内外学者的关注，以美国为例，自2000年以来共进行了约600口页岩油气水平井的重复压裂作业，整体效果来看，重复压裂可以显著提高页岩油气井的产量和最终可采资源量（EUR）[7]。有一半的井在重复压裂后的初始产量能达到初次压裂的80%以上，递减率更低[8-9]。重复压裂的成功与否决定于选井选层工作和压裂优化设计，尤其是弄清重复压裂前现地应力场的分布情况以确保满足老缝张开与新缝起裂条件[10-13]，进而达到增能挖潜效果。

目前国内外研究者针对重复压裂前现地应力的计算方法做过诸多工作。Sneddon[14-15]认为初次压裂裂缝的存在会产生诱导应力场。Wright[16]提出与最小水平主应力、垂向应力、泊松比、地层压力和构造应力有关的简单多孔弹性模型，可用于估算孔隙压力降低对地应力的影响。Elbe[17]认为油气井生产引起孔隙压力变化导致初次压裂后裂缝周边孔隙压力梯度也发生变化，并指出生产过程会使地应力场发生90°反转。

前人研究工作比较关注于应力场的改变量，对应力场改变的叠加和现地应力场的系统求取方法研究较少。笔者考虑页岩储层天然裂缝与层理、构造运动，基于测井解释数据和现场施工数据，还原原地应力场分布情况；基于等效裂缝及其缝内净压力等效理论，建立长水平段多段簇裂缝诱导应力干扰效应与生产诱导应力效应计算方法，线性叠加求取重复压裂前现地应场计算模型，为页岩气长水平段重复压裂提供参考。

1 原地应力场计算方法

1.1 重力应力与水平应力

页岩储层埋藏于地层深部，由岩体自重形成的重力应力为，

式中σz表示深度H处的垂向应力，MPa；ρr(h)表示随深度变化的上覆岩体密度，kg/m3；H表示压裂层位深度，m；g表示重力加速度，9.81 m/s2。

基于弹性力学理论，学者黄荣樽提出了应用较为广泛的水平应力计算模型为[18-20]：

式中σH、σh分别表示最大、最小水平主应力，MPa；v表示岩石泊松比，无量纲；KH、Kh分别表示最大、最小水平地应力方向的构造应力系数，无量纲；α表示Biot系数，无量纲；pp表示地层孔隙流体压力，MPa。

由于目前没有针对页岩Biot系数的相关计算公式，借用根据有效应力定律建立的Biot系数孔隙弹性本构关系式[21]，其Biot系数的计算表达式[22]为：

1.2 构造应力系数确定

构造应力是指构造运动引起的地应力增量，以矢量形式迭加在地层重力应力场中，使得水平应力场不均匀。在计算沿井筒方向的地应力剖面时，需考虑地质构造运动产生的构造应力对水平应力场的影响，一般采用构造应力系数（KH、Kh）修正水平应力方向上的影响大小。

对于页岩水平井，破裂压力的计算则有所不同，在不考虑流体渗滤情况下表述为[23-24]，

式中pf表示破裂压力，MPa；σt表示岩石抗拉强度，MPa。

页岩岩石抗拉强度、弹性模量、泊松比计算公式[25]如下：

式中σc表示岩石抗压强度，MPa；E表示岩石弹性模量，MPa；Vsh表示泥质含量，无量纲；Δts表示地层横波时差，μs/ft（ft=0.304 8 m）；Δtp表示地层纵波时差，μs/ft；ρb表示岩石密度，g/cm3。

岩石力学参数可通过室内实验获取静态值，通过测井解释获取动态值。依据本文参考文献[26]可知，对于同一研究目标层位（岩石），其动静态参数之间存在一定的转换关系，其对比参数见表1，满足μs=A1+K1μd与Es=A2+K2Ed。利用线性回归方法对同步测试的岩石力学参数进行回归，可得到动静态参数的转换表达式为：

根据涪陵焦石坝目标井测井资料和分段压裂施工曲线确定无因次的最大水平应力构造系数（KH）、和无因次的最小水平应力构造系数（Kh）。

1.3 天然裂缝与层理

天然裂缝与层理的发育导致一些“正常”的反映产生异常，通常通过测井资料响应，如密度测井、声波测井、电阻率测井等等。在页岩储层进行测井测试时，遇到天然裂缝与层理发育地带，无论是低角度缝还是网状缝，其纵波能量衰竭大，横波能量衰减特别严重，反映在数值上也有相应变化，可间接反映对地应力的影响。

表1 动静态参数对比表

2 诱导应力场计算方法

现场和实验室的结果表明，诱导应力场主要包括井间段簇裂缝诱导应力、初次裂缝产生的诱导应力、生产诱导应力。

2.1 裂缝诱导应力

页岩储层一般采用分段体积压裂技术，为了简化计算（图 1），将每一段簇的体积缝等效为一条对称双翼缝[27-28]，假设段簇距离为L，裂缝长为2a，在裂缝面上作用压力为p。根据弹性力学按应力求解平面应变问题并进行傅立叶积分变换，求得二维裂缝诱导应力场计算公式为：

由虎克定律得到，三向应力存在如下关系：

式中σx诱导、σy诱导、σz诱导分别表示x，y，z方向上的诱导应力，MPa；p表示裂缝壁面上净压力，MPa；r表示裂缝中心距离A点的距离，m；r1表示裂缝底部距离A点的距离，m；r2表示裂缝顶部距离A点的距离，m；θ表示A点偏离裂缝中心的角度；θ1表示 A点偏离裂缝底部的角度；θ2表示 A点偏离裂缝顶部的角度；c表示缝高的一半，m；ν表示泊松比。

同时，各几何参数间存在以下关系：

由于等效主裂缝各处缝宽不等，使得公式（10）中的缝内净压力不是一个恒定值。笔者采用等效主裂缝内缝内净压力的加权平均值统一替代进而计算裂缝诱导应力[14,29]，表达式为，

图1 页岩分段压裂等效主裂缝诱导应力场几何模型示意图

式中p0表示最大缝宽处裂缝壁面上净压力，MPa；x表示某处距离井筒的裂缝长度，m；Lf表示总的裂缝长度，m；γ表示裂缝内净压力分布指数，无量纲，根据现场经常压力施工数据反演得到；G表示岩石剪切模量，MPa，G=E/2(1+v)；w(x)表示距离井筒x处的裂缝宽度，m。

2.2 生产诱导应力

由于油气流体的生产，使地层孔隙压力发生变化，进而引起两个水平主应力发生改变。依据广义的胡克定律，开采前后水平方向上的应力—应变关系[30]分别表述如下：

由于孔隙压力的变化只会引起地层垂向变形，水平面内变形为零，得到孔隙压力变化引起的水平主应力的改变方程为：

3 地应力场计算与分析

3.1 现地应力场模型

综合考虑裂缝诱导应力和原始地应力，对其进行线性叠加[31-32]，最终获取现地应力模型，表述如下：

3.2 裂缝诱导应力分析

选取最大缝宽0.01 m、0.02 m，半缝长220 m、220 m、240 m、260 m，泊松比0.21，杨氏模量38 GPa，缝内压力分布指数0.70、0.80，依据公式（11）计算缝内净压力与缝宽沿裂缝半长的分布（图2、图3），等效缝内净压力与等效缝宽（图4）。从图2、图3中曲线变化趋势可知：①相同条件下，等效主缝缝宽随长度增加而减少，缝内净压力随长度增加亦减少；②最大缝宽增大时，沿缝长的缝宽与净压力变化趋势不变；③缝内净压力分布指数越大，缝宽与缝内净压力亦变化越大。图4中曲线变化趋势显示可知加权平均后等效缝内净压力和缝宽随最大缝宽增大而增大，随缝内净压力分布指数增大而减少。

根据建立裂缝诱导应力模型（公式10～11），选取两段页岩压裂为物理模型，求解由初次裂缝、邻段簇裂缝产生的诱导应力，应力云图见图5，可知：①沿水平井段井筒方向，最小水平主应力增大最大，表现为拉应力；主裂缝尖端处出现应力集中，诱导应力为负值，表现为压应力；距离裂缝越远，诱导应力越小；②沿水平井段井筒方向，最大水平主应力增大最大，表现为拉应力；主裂缝尖端处出现应力集中，诱导应力为负值，表现为压应力；距离裂缝越远，诱导应力越小；最大水平主应力方向产生的诱导应力比最小水平主应力方向产生的诱导应力小；③沿水平井段井筒方向，水平应力的诱导应力差变小；主裂缝尖端处出现应力集中，诱导应力差变大。

图2 不同条件下等效缝宽沿缝长分布图

图3 不同条件下缝内净压力沿缝长分布图

图4 不同条件下等效净压力与等效主缝缝宽对比图

图5 页岩多段簇裂缝诱导应力场变化云图

图6 孔压变化时诱导应力变化趋势图

3.3 生产诱导应力分析

页岩气生产使得地层孔隙压力下降Δσ，为负值。根据定容气藏压降消耗方程p/Z=(1-Gp/G)pi/zi和累产气量可得目前孔隙压力p，进而计算Δps。沿井筒各段簇上各处泊松比及Biot系数均不一致，诱导力随泊松比及Biot系数变化趋势见图6，从中曲线变化可知：①孔压变化引起的诱导应力随泊松比增大而减少，随Biot系数增大而增大；②孔压变化越大产生的诱导应力差值也越大。

3.4 地应力场对比分析

参考涪陵A井，其水平段测深2 600～4 010 m，共15段、43簇，等效裂缝半长为220 m、最大缝宽为0.02 m、等效裂缝加权缝宽0.004 9 m，等效裂缝加权缝内净压力为0.22 MPa、缝高为20 m、泊松比为0.21、初始水平应力差为5.0 MPa、孔隙压力衰竭8.2 MPa等数值为基础参数，该井裂缝诱导应力场云图见图7。从图7中变化趋势可知，A井长水平段多段簇压后裂缝诱导应力已使地应力场发生转向（尤其是近井筒地带）。地应力场对比结果见图 8，从变化趋势可知，多段簇改造和压后生产使水平主应力发生转向，原最大水平主应力普遍比原最小水平主应力大5.0～7.0 MPa，压后产生的多段裂缝产生了应力干扰，结合图7的应力干扰云图，在水平段2 700～3 700 m范围内产生了水平主应力反转，即现最大水平主应力出现在原最小水平主应力方向，现最小水平主应力出现在原最大水平主应力方向，尤其是在3 000～3 500 m范围内，水平主应力相差2.0～3.0 MPa。同时由于生产一段时间后，孔隙压力下降，整体水平主应力有所下降。

该井重复压裂施工时，通过施工曲线的分析，认为水平主应力转向区域（3 000～3 500 m）产生了新的裂缝网络，重复压裂后该井产量提高到压前产量2.5倍，验证了本文研究应力场干扰后产生的水平主应力发生转向结果。

图7 页岩长水平段多段簇裂缝诱导应力场变化云图

图8 A井地应力场剖面

4 结论

1）结合施工压力曲线和测井解释资料，建立了页岩水平井原地应力计算方法，其中原地应力场中的水平应力构造系数由压裂施工数据反演得到，可真实反演原地应力场大小。

2）分析了不同裂缝段簇和孔隙压力降低产生的诱导应力变化，认为：①等效主缝缝宽随长度增加而减少，缝内净压力随长度增加亦减少；②沿水平井段井筒方向，水平应力的诱导应力差变小；主裂缝尖端处出现应力集中，诱导应力差变大；③孔压变化引起的诱导应力随泊松比增大而减少，随Biot系数增大而增大，孔压变化越大产生的诱导应力差值也越大。并在此基础上形成了诱导应力场计算方法。

3）采用应力叠加原理，建立了页岩水平井重复压裂前现地应场计算模型，结合实例井计算，认为长水平段多段簇压后裂缝诱导应力已使地应力场发生转向。而实例井重复压裂后的产量变化，也验证了应力场干扰后产生的水平主应力发生了转向。