多参数n阶α次积分C半群的预解集

毕 伟

(延安大学学术期刊中心，陕西延安716000)

在算子半群理论中，预解集是各类算子半群研究的重要内容。文献[1-4]研究了n阶α次积分C半群和双参数n阶α次积分C半群的定义并给出其相关性质。在此基础上，本文给出多参数n阶α次积分C半群的预解集的定义，并研究其一些性质。

1 预备知识

在本文中，N表示自然数集，X为无限维的复Banach空间，B(X)是X上有界线性算子全体所成的Banach代数，C∈B(X)是单射，D(A)为线性算子A的定义域，在全文中规定所有m,n∈N，α≥0。

JnT(t)表示T∈C([0,+∞),X)的n次积分，即

T=0当且仅当存在n>0使得

JnT(t)=0,t≥0。

定义1[5]设n∈N，α≥0，{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0⊂B(X)强连续，若存在线性算子A=(A1,A2,…,Am)使得(1)～(3)式成立：

(1)∀x∈X，t1,t2,…,tm≥0,

JnT(t1,t2,…,tm)x∈D(A)，

AJnT(t1,t2,…,tm)x；

(2)∀x∈D(A)，t1,t2,…,tm≥0，

JnT(t1,t2,…,tm)Ax；

(3)CT(t1,t2,…,tm)=

T(t1,0，…,0)T(0,t2，…,0)…T(0，0，…，tm)。

{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0是多参数n阶α次积分C半群，A=(A1,A2,…，Am)是多参数n阶α次积分C半群{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0的次生成元，也称A次生成多参数n阶α次积分C半群{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0。

2 主要结果

定义2 若Rc(λ,(A1,A2，…，Am))=λn-1(λn-(A1,A2,…,Am))-1C有定义在Banach空间X上的有界逆算子，则称λ为多参数n阶α次积分C半群{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0的次生成元A=(A1,A2,…,Am)的正则点，Rc(λ,(A1,A2,…,Am))为A=(A1,A2,…,Am)的C预解式，全体正则点称为A=(A1,A2,…,Am)的C预解集，记为

定理1 设n∈N,α≥0,{T(t1,t2,…,tm)}t1,t2,…,tm≥0为X上的多参数n阶α次积分C半群，闭线性算子A=(A1,A2,…,Am)为其次生成元，且D(A)⊂X,如果有

{λn|Reλ>max{ω,0}}⊂

∀(a1,a2，…，am)∈Rm，ω∈R，那么下式成立：

Rc(λ,(A1，A2，…，Am))x=

∀x∈X，t≥0。

证明A=(A1,A2，…，Am)是X上的多参数n阶α次积分C半群的次生成元，且Reλ>max{ω,0}，x∈X，则有

并且

那么由∀(a1,a2,…am)∈Rm，令

如果x∈D(A)，可得

所以有

λn-1(λn-(A1,A2,…，Am))-1Cx,∀x∈X，

即Rc(λ，(A1,A2,…,Am))x=

定理2 令A=(A1,A2,…,Am):D(A)→X是多参数n阶α次积分C半群的次生成元，

Rc(λ,(A1,A2,…,Am))为A=(A1,A2,…,Am)的C预解式，则有：

Rc(λ,(A1,A2,…，Am))λ1-nC-

Rc(μ,(A1,A2,…,Am))μ1-nC=

Rc(λ,(A1,A2,…，Am))Rc(μ,(A1,A2,…,Am))·

(μn-λn)λ1-nμ1-n。

证明由Rc(λ,(A1,A2,…,Am))C=

(μn-(A1,A2,…,Am))-1(μn-

(A1,A2,…,Am))Rc(λ,(A1,A2,…,Am))C=

(μn-(A1,A2,…,Am))-1C(μn-λn+λn-

(A1,A2,…,Am))Rc(λ,(A1,A2,…,Am))=

(μn-(A1,A2,…,Am))-1C(λn-

(A1,A2,…,Am))Rc(λ,(A1,A2,…,Am))+

(μn-(A1,A2,…,Am))-1C(μn-

λn)Rc(λ,(A1,A2,…,Am))=

(μn-(A1,A2,…,Am))-1CCλn-1+

μ1-nRc(μ,(A1,A2,…,Am))Rc(λ,(A1,A2,…,Am))(μn-λn)=

μ1-nRc(μ,(A1,A2,…,Am))Cλn-1+

μ1-nRc(μ,(A1,A2,…,Am))Rc(λ,(A1,A2,…,Am))(μn-λn)，

可得Rc(λ,(A1,A2,…,Am))C=

Rc(μ,(A1,A2,…,Am))Cλn-1μ1-n+

Rc(μ,(A1,A2,…,Am))Rc(λ,(A1,A2,…,Am))·

(μn-λn)μ1-n。

上式两边同乘以λ1-n，再移项可得

Rc(λ,(A1,A2,…,Am))λ1-nC-

Rc(μ,(A1,A2,…,Am))μ1-nC=

Rc(λ(A1,A2,…,Am))Rc(μ,(A1,A2,…,Am))·

(μn-λn)λ1-nμ1-n。

注：当文中C=I(I是恒等算子)时，多参数n阶α次积分C半群称为多参数n阶α次积分半群，在此条件下就是文献[6]所研究的内容。