捻制系数不等式的建立及证明

沈志军， 佟玉飞， 赵宪海， 彭桂嘉， 魏晓旭

（1.咸阳宝石钢管钢绳有限公司， 陕西 咸阳712000； 2.鞍钢钢绳有限责任公司， 辽宁 鞍山114000）

0 引言

用户根据工况和设备参数，可确定钢绳使用直径，然后将数据提供给钢绳生产商，以便生产商制造钢绳.然而钢绳是由数百根钢丝甚至上千根钢丝捻制而成，所以钢绳一般不采用一次捻制. 生产中，钢绳通用制造方法包括捻股和合绳等生产阶段. 制造过程会引入一个未知的股直径参数，然后才能用股合成钢绳. 这种由绳直径倒推股直径参数的比例系数一般称为捻制系数. 钢绳设计中，工程师特别关注捻制系数的取值，根据文［1－2］可知，捻制系数计算涉及一元四次方程求解，对于工程师而言，求解一元四次方程是困难的工作. 为计算捻制系数，文［3］求解了捻制系数的理论计算公式.

钢绳工作者指出如下问题：尽管文［3］已证明理论公式，但利用计算器等工具计算捻制系数并不容易，若能给出捻制系数下限也特别有意义. 因此，本文讨论了捻制系数不等式的建立过程，并给出了证明.

1 捻制系数精确解

为描述方便并兼顾钢绳工业的习惯，约定捻制系数为m，中心角为φ（φ是锐角），捻距倍数为K（K＞π），股根数为N，π（圆周率）为常数，捻角为α.

文［1］中，参数关系如下

字符除m外，其他字符为已知常量，且各参数均为正值. m的理论计算式即［3］

2 捻制系数下限

实际中，如果将钢丝不经过捻制而直接放在一起，则有K→＋∞，此时可给出m的下限［4］，如下所述.

当K→＋∞，则

3 建立捻制系数不等式

2011 年，在理论分析的基础上，笔者曾在《不等式研究通讯》中提出：

笔者称式（7）为捻制系数不等式.

4 证明捻制系数不等式

在北京师范大学物理学系白在桥教授的指导下，笔者证明了式（7）.

4. 1 证明方法的形成

注意式（7）中的m（K，N）来自于式（1），因此

式（8）中，若f（m）＝0，则

设式（9）等式左边的四次函数为L（m），再设右边的二次函数为R（m）.将L（m）与R（m）画在一个坐标系，见图1.图中用φ＝π／6、K＝3.15 演示.

根据图1 可见： 1）函数L（m）的4 个根，依次为－（1－sinφ）／sinφ、0、0、（1＋sinφ）／sinφ； 2）当0＜m＜（1＋sinφ）／sinφ，L（m）＜0. f（m）＝0 有两实根m1、m2，两根数值：m1＜（－1＋sinφ）／sinφ，m2＞（1＋sinφ）／sinφ，可见含有m2的不等式就是捻制系数不等式.

据此需要分析的f（m）各阶导数函数性质，然后根据零点定理证明捻制系数不等式.

图1 二次函数R（m）与四次函数L（m）的仿真

4. 2 f（m）各阶导数的函数性质

为方便讨论，约定m∗＝（1＋sinφ）／sinφ，根据式（1）得［5］

当m＞m∗时，有f ‴（m）＞0，则f ″（m）为增函数.因此，

即m＞m∗时，有f ″（m）＞0.

改写式（10）中f ′（m∗），即

其中：g（m∗）＝2K2m∗2－3K2m∗－cot2φ（K2＋π2）.

如果g（m∗）＞0，则f ′（m∗）＞0.实际上，

即f ′（m∗）＞0.

因此，K＞π 且m＞m∗时，f（m）为增函数.另一方面，f（m）各阶导数均为多项式，根据高等数学可知连续.

综上所述，K＞π 且m＞m∗时，f ‴（m）＞0，f ″（m）＞0，f ′（m）＞0；f ‴（m）、f ″（m）、f ′（m）以及f（m）为增函数且连续.将m∗代入可知f（m∗）＜0，而f（＋∞）＞0.因此根据零点定理，存在m∈（m∗，＋∞）使得f（m）＝0，即式（7）成立.

5 推广捻制系数不等式

近期，在微分几何基础上，笔者建立钢丝绳参数关联因子n的概念［6］.经过咸阳宝石公司多位工程师的努力［7－8］，发现n和m存在函数关系.因此，笔者对于捻制系数不等式的证明有了新理解，此外推广了捻制系数不等式.

5.1 捻制系数下限的简单证明

在式（9）中，令K→＋∞，可得

注意到m＞0，可得

为了直观说明5.1 的含义，见图2.

图2 直接说明了本文建立的捻制系数不等式的含义.

图2 N 与K 对m 的影响示意图

5.2 推广捻制系数不等式

钢丝绳参数关联因子含有很多对称性，受n启发，建立推广的捻制系数不等式.

其中：Δ 与式（2）相同.除m1外，其他字符为已知常量，且各参数均为正值，则

5.3 两类捻制系数不等式的统一证明

将式（9）变形为

在m∈R、K＞π 下，

则

式（23）的正确性可用文［3］的数据检验.

必须指出：式（23）对于认识钢丝绳参数关联因子n有重要意义.式（23）反映出与n相关参数具有函数对称性.笔者曾和孙冠工程师猜测：除了实数表达式，n具有复数表达式.根据文［3］，关于m的一元四次方程有2 个实根、2 个复数根，而n与m存在函数关系，即通过m可直接说明前述猜测正确.

6 讨论

工程不等式背景深刻且应用广泛，它值得理论工作者关注，文［9］给出了一些工程不等式的例子.工程中的不等式对于产品质量控制等方面有积极意义，解决工程中与不等式相关的问题，经常会涉及不同的数学分支，它是很好的应用数学方向.美国劳伦斯实验室的邵美悦老师曾对笔者说过，数学证明过程有助于理解工程结果的合理性.捻制系数不等式左边表示m的“实际值”，而右侧表示m的“理论值”.捻制系数不等式表明：理论的钢绳捻制系数m影响因素少于生产中的，即生产中不可以忽略捻制对钢绳的影响.通过捻制系数不等式的证明，笔者深刻体会了邵老师的观点.

致谢感谢陕西理工大学数学与计算机科学学院孙越老师的指导.