系统阻尼对微型机械传感器性能的影响研究

张强 王晓光 陈兰 王满苹

摘 要：系统频率稳定性与共振品质因数非常重要，二者是描述机械共振的关键性能指标。本文通过研究发现，降低品质因数能够提高微型机械共振传感器的频率稳定性。通过在一定的带宽下展示传感器的温度分辨率，指出低带宽中增加系统阻尼可带来更高的稳定性和传感器分辨率，从而可以对研发高性能超灵敏共振器提供帮助。

关键词：阻尼;机械传感器

Abstract：The frequency stability and resonance quality factor of the system are very important.They are the key performance indexes to describe the mechanical resonance.In this paper，it is found that reducing the quality factor can improve the frequency stability of the micro mechanical resonance sensor.By displaying the temperature resolution of the sensor in a certain bandwidth，it is pointed out that increasing the system damping in the low bandwidth can bring higher stability and sensor resolution，which can help to develop high-performance super sensitive resonators.

Key words：damping; mechanical seneor

1 概述

微型谐振机械装置，具有非凡的灵敏度。当使用微型机电系统作为稳定的频率参考时，微小的力和质量变化可以通过小的频移来区分。这在超灵敏质量测量中很有用。例如，质量灵敏度的提高开创了机械质谱的新范式。任何提高稳定性的方法都会改善这些传感器的性能。如果稳定性可以保持不变或通过增加阻尼来改善，则微型机电系统超敏性可以部署在诸如空气或液体之类的阻尼介质中，从而极大地提高了它们作为生物传感器或气体传感器使用或在环境中的效用。研究表明，更好地稳定性还可以使振荡器时钟电子设备受益[1-4]。品质因数Q是阻尼的倒数，它表示共振在频率上的尖峰值。Q已被用作频率稳定性的替代指标。但是，Q只贡献了一部分。另一部分来自谐振信号与噪声的比值信噪比（SNR）。尽管传统上假设Q和SNR是相关的，但我们注意到当共振条件仅受内在因素限制时，SNR应该与Q成反比。在这种情况下，稳定性应独立于Q，并且稳定的性能应与Q无关，保持在各种阻尼条件下。

2 机电系统共振特性

微型机电系统（NEMS）以其较高的灵敏度而著称。然而，通常认为最佳灵敏度要求最高的品质因数，从而限制了其在真空环境和低温下的应用。空气和液体中超灵敏性的获得可以带来许多新的应用：生物传感，安全性筛查，环境监测等。

通过很小的质量或刚度以及精确的共振频率f确定，可以实现出色的灵敏度。这种方法允许对频率δf的摄动进行探测（如图1）。

机械共振会因质量或力的变化而引起频移。根据式（1）可得，最小可检测到的偏移随着带宽和SNR的提高而提高。

直观上判断，峰值位置（和最终灵敏度）由两个因素决定：有限的带宽和信号上的噪声。前者通过谐振品质因数Q量化，后者通过信噪比SNR量化，因此频率稳定性应与这两个数量有关。通过文献[5]和[7]，得到了力和质量敏感性分析的基础，并将此关系定义如下：

〈δff〉～12Q1SNR=12Q10-DR/20（1）

其中，SNR是谐振时驱动的运动幅度与等效噪声幅度之比，动态范围DR是与此SNR相关的功率电平。

SNR=adrivenanoise（2）

SNR增强的策略很少，几乎没有考虑Q和SNR之间的关系。有一个隐含的假设，即提高Q也将有益于信号保真度。对于较低的Q，还假定驱动功率不变，从而导致幅度损失和DR减小。

当仪器噪声可以忽略不计时，较低的Q共振会显示出本质上较低的固有噪声底峰（例如热机械噪声）。动态范围的固有上限与线性响应的结束相关。较低Q的谐振的较宽线宽可承载更多的非线性，并将此线性范围扩展到更大的幅度。结合起来，这两种效应得出了10-DR/20∝Q。

这种结果表明，在热机械噪声得到很好的解决并且振幅可以被驅动为非线性的情况下，频率波动噪声不应取决于Q。如果为真，该模型将提供一条途径来完全缓解由于较低Q值引起的灵敏度损失。对NEMS[4，5]中使用的相位噪声模型的详细检查显示，式（1）中是高Q近似值。明显地消除该近似值，意味着在低带宽下与Q成正比的频率波动噪声：具有全动态范围的高阻尼系统应比等效的低阻尼系统具有更好地频率稳定性（和灵敏度）。可以对惯性和定时微机电系统（陀螺仪，加速度计和晶体振荡器）产生广泛的影响。

使用微型机电系统，我们能够得出频率稳定性随着阻尼的增加而提高。通过将压力从真空改为大气压，以改变单个机械装置中的外部Q。可以观察到，在保持整个动态范围的同时，SNR与Q成反比。相应的频率稳定性（Allan偏差[8]）随着阻尼的增加而下降，并接近理论极限值，并且在大气中要好于真空。需要注意的是，过量的固有频率波动噪声[4-6]随着Q的下降而收缩，并且没有限制大气压下的稳定性。通过温度测量测试了隐含的灵敏度提高，并在300Hz带宽下显示了较高的灵敏度。

3 最大化动态范围和最小频率波动

特別是使用NOMS[7-9]，可以将热机械噪声的分辨率提高到仪器噪声背景以上的数量级。按照惯例，通过假设峰值噪声关系（由等分定理得出），从电压信号（SV）校准Sx的值：

Sthx（Ω0）=4kBTMΩ2Γ（3）

其中角频率Ω=Ω0=2πf，f为谐振频率，M为谐振器有效质量，Γ=Ω/Q为阻尼。我们将共振点上的热机械（th）噪声幅度定义为：

ath=Sthx（Ω0）Δf=4kBTMΩ2ΓΔf（4）

Δf是测量带宽。注意ath与Q1/2成正比。在这种情况下，噪声是由共振附近的热机械主导的。这样，我们可以得到固有DR的最低端，达到30kHz的测量带宽。

设备由剪切压电机械驱动，并且由于大的驱动功率而产生了非线性响应。随着双钳位梁被驱动到更大的振幅，刚度变得依赖于振幅，从而导致几何非线性[8，9]。这种非线性产生了鱼鳍形的共振迹线和振幅相关的共振频率。为了避免将振幅噪声注入相位噪声，因为这会降低稳定性，驱动振幅必须保持在临界值或以下，该临界值定义如下：

acrit=1.49πf0L21.732ρQE（5）

其中L是光束长度，E是杨氏模量，ρ是密度。众所周知，锐利度与Q的平方根成反比，并适用于所有非线性谐振器[7，10]。直观地讲，在给定的振幅下，固有的非线性会导致所定义的频率偏移足够大，从而使谐振形状倾斜为较窄的带宽，同时仍被较宽的线宽所掩盖。当访问整个动态范围时，我们可以将anoise等同于ath并将a驱动等同于acrit，与式（2）、（4）和（5）联立以产生与1/Q成比例的SNR。

在Duffing限制方案中，Q×SNR的乘积是恒定的。峰值频率曲线幅度响应与压力的关系如图2所示：

其中，Acrit-D是由等式5定义的理论Duffing振幅。amax是测得的波峰幅度，而ath是热机械峰幅度。DR随着压力的增长而增长。

4 频率波动测量（Allan偏差）

在保持Q×SNR的情况下，仍然可以检查设备中的分数频率稳定性δf/f。通过使用两样本的方差来完成此操作，这是一种表征频率稳定性的标准方法。作为Allan方差平方根的偏差，它是频率读数之间给定时间t的分数频率稳定性的估计值[8，10]。其函数表达形式为：

σR（τ）=14Q1SNR1Δf1τ（6）

然后，频率稳定性会简化为SΦ的行为特性。位移产生的相位噪声如下：

SxΦ=0.5Sxa2driven（7）

从本质上讲，位移波动通过噪声振幅与驱动振幅之比来表示振荡周期内的过零点（相位）。位移噪声幅度Sx在放大到谐振频率附近时变为以1/f2大小衰减的低通滤波器：

Sx（ω）=Sx（0）（Γ/2）2ω2+（Γ/2）2（8）

结合式（2）、（4）、（7）和（8）：

SxΦ=1SNR212Δf（Γ/2）2ω2+（Γ/2）2（9）

σ的完全定义形式，一般称为平带（fb）机制：

σfbτ=1.5SNR1Ωτ（10）

通常不考虑这种机制，因为它通常会导致带宽过低。但是，当设备达到更高的频率并且有目的地将Q向下减小时，（Γ/2）/（2π）的转折频率可能会变得非常大。在当前标准大气压情况下，其为200kHz。

如图3，图中不同压力的频率（温度）波动的放大图显示了60托（Torr）时的灵敏度最佳点，其中DR最大。从真空到60托，峰峰值波动提高了一个数量级。随着Q下降到60托最佳点，达到60μK，温度分辨率得到改善。

图3 不同压力下系统的频率（温度）波动放大图

5 结论

通过开环频率跟踪，Allan偏差测量和平方分析来寻找不同压力下数据中的频率波动噪声（与白噪声不同）的迹象。在真空中的高Q值处可以看到清晰的频率波动噪声特征，而在大气压下的低Q处则没有这种噪声特征。最后，在开环下直接在不同压力下测量相位噪声，发现其与DR相关，与预期的结果一致。结果证实，对于本质上受限的谐振器，Q和SNR表现出相反的特性。更值得注意的是，我们发现阻尼提高了稳定性。进一步证明了低Q方法可以很好地解决由于移相而引起的稳定性限制。通过重新建模以找到新的平坦频带制度，其稳定性仅与SNR有关。结果为研究机械谐振器的稳定性提供了新的范例，并提出了改善谐振传感器和晶体时钟振荡器稳定性的新途径。

综上所述，降低品质因数能够提高机械共振传感器的频率稳定性。通过在一定的带宽下观察传感器的温度分辨率发现，在低带宽中增加系统阻尼可带来更高的稳定性和传感器分辨率。

参考文献：

[1]曾涛，王大伟，谭久彬，张钟华，曹观标.差分式自阻尼位移传感器传感特性研究[J].仪器仪表学报，2020，41（02）：18-24.

[2]范文芳.新型金属纳米结构的设计及其传感性能的研究[D].南京邮电大学，2018.

[3]胡浩，邹江河，羅毅.一种活塞式光纤流体差压传感器数学模型与实验分析[J].仪表技术与传感器，2020（04）：6-10.

[4]王铁玲，刘宝伟，吕颖，陈宝成，马莎，浦龙.大过载真空传感器结构优化设计[J].传感器与微系统，2019，38（06）：102-104+108.

[5]A.N.Cleland，M.L.Roukes，Noise processes in nanomechanical resonators.J.Appl.Phys.92，2758-2769（2002）.

[6]T.R.Albrecht，P.Grütter，D.Horne，D.Rugar，Frequency modulation detection using high-Q cantilevers for enhanced force microscope sensitivity.J.Appl.Phys.69，668-673（1991）.

[7]李强.基于关节力矩传感器的碰撞检测与柔顺控制研究[D].哈尔滨工业大学，2019.

[8]S.Schmid，L.G.Villanueva，M.L.Roukes，Fundamentals of Nanomechanical Resonators（Springer，2016）.

[9]J.Moser，A.Eichler，J.Güttinger，M.I.Dykman，A.Bachtold，Nanotube mechanical resonators with quality factors of up to 5 million.Nat.Nanotechnol.9，1007-1011（2014）.

[10]H.W.C.Postma，I.Kozinsky，A.Husain，M.L.Roukes，Dynamic range of nanotube-and nanowire-based electromechanical systems.Appl.Phys.Lett.86，223105（2005）.