基于分布式鲁棒机会约束的中欧班列空箱调运优化

邢 磊，靳志宏，王小寒，蔡佳芯

(大连海事大学 交通运输工程学院， 辽宁 大连 116026)

2013年，中国为促进经济发展，提出“一带一路”倡议，极大促进了中欧贸易往来。截至2019年1月，中欧班列累计开行12 000列，涵盖了中国56个城市以及欧洲49个城市。由于中欧贸易的不平衡性，东向班列(开往中国)开行数目大约为西向班列(开往欧洲)开行数目的一半[1]。这导致中国城市成为空箱需求点，欧洲城市成为空箱供给点，降低空箱回程成本成为现实运营中的一大难点。中欧班列开通前，中欧之间90%的货物都以海上运输为主，运输时间大约为30～40 d。中欧班列开通后，货物的运输时间缩短至20～30 d。但是，中欧班列的运输成本大约为海上运输的4倍。为了维持中欧班列的健康运行，中国政府实行了补贴政策，使得实际运输成本与海上运输成本相差不大。然而到2020年，政府将逐渐收回补贴政策，这势必导致部分城市空箱需求量发生变化，为空箱调运增加了不确定因素。当前，为减少空箱调运成本，部分空箱通过海陆联运的方式调回，但增加了运输时间。与此同时，可折叠集装箱的出现也为减少空箱调运成本带来一定的可能性。

近年来，一些国内外学者对不确定环境下空箱调运问题进行了研究。韩晓龙等[2]构建了含有概率约束规划的多目标空箱调运优化模型，将概率模型转化为确定性整数规划模型后求解。蔡佩林等[3]构建了随机需求下3种港口集装箱空箱调运博弈模型，论证了不同调度策略对3种模型的影响。赵雅琦等[4]构建了考虑可折叠集装箱的机会约束规划空箱调运优化模型，分析了可折叠集装箱实现空箱调运成本降低的潜在可能性。陈继红等[5]构建了班轮联盟下的空重箱舱位租赁分配随机机会约束规划模型，并将模型转化为确定性规划模型求解。肖青等[6]考虑重箱需求模糊性对空箱调运的影响，构建了空箱调运模糊规划模型，并转化为确定性的等价形式求解。徐奇等[7]构建了多周期下的多式联运空重箱联合调度随机规划模型，采用动态规划与遗传算法联合的方法求解。汪传旭等[8]构建了船公司合作下的多港口空箱调运优化模型，引入港口空箱配对转运思想，并验证了该思想在解决空箱调运模型上的有效性。江玉杰等[9]构建了船公司合作下的海运空箱调运模糊优化模型，算例结果表明合作调箱策略能够降低总成本。 Long等[10]构建了两阶段随机规划空箱调运模型，并采用样本平均值近似方法估计预期成本函数，设计了基于渐进式对冲策略的算法来解决样本平均值近似问题。Song等[11]基于海港的动态信息，采用离散时间规划方法构建空箱调运优化模型，设计了价值迭代算法来评估不同方案的最优策略。Hosseini等[12]构建了一种新的辅助机会约束规划空箱调运优化模型，并通过证明将其转换为确定性约束规划模型。Francesco等[13]构建了基于时间扩展的多场景空箱调运优化模型，通过算例验证由于参数的不确定导致用来满足不同场景下的空箱需求值可能不同。Erera等[14]提出了一种基于时空网络的鲁棒性优化方法来解决动态空箱调运优化模型，验证了鲁棒性优化方法在一定情形下能够有效恢复网络中由于供需不确定性导致的流量失衡。

综上所述，既有研究多以单一运输方式的空箱调运优化为主，缺乏海陆联运方面的研究，而且大多假设空箱需求的概率分布事先已知。但是，中欧班列开通年限较短，历史数据较少，导致空箱需求的概率分布难以确定。本文采用分布式鲁棒优化的方法，考虑回程可采用陆上、海陆联运两种方式以及可折叠集装箱因素的影响，对中欧班列的空箱调运优化问题进行研究。

1 问题描述

当货源客户产生空箱需求时，班列公司为其提供空箱服务。在每个时期内，班列公司的空箱供给主要来源于该时期内的重箱转化以及从其他城市调运的空箱。若货源客户的空箱需求量大于班列公司的供给量，班列公司需向租箱公司租用箱子，从而满足货源客户的空箱需求，完成运输后在本时期末还给租箱公司。若货源客户的空箱需求量小于班列公司的供给量，班列公司则会将多余的空箱堆存在集装箱场站，并向集装箱场站支付堆存费用。由于货源客户存在较大的随机性，并且容易受国家政策影响，各城市每个周期内的部分空箱需求客户处于变化之中。考虑到中欧班列开通年限较短，历史数据较少，难以掌握不确定性需求客户在每个周期空箱需求量的精确值或概率分布，引入分布式鲁棒优化原理，基于不确定需求量的部分信息，研究中欧班列的空箱调运优化问题。该问题主要有以下3个特性：

(1)部分空箱调运可考虑海陆联运，虽能够极大地降低运输成本，但增加了运输时间。如何兼顾成本与时间选择运输方式是中欧班列空箱调运的优化方向。

(2)多个可折叠集装箱能够折叠成一个标准集装箱，从而降低空箱调运的运输成本，但额外增加了折叠、展开成本。同时，可折叠集装箱的租用成本也高于标准集装箱。通过灵敏度分析探究使用可折叠集装箱降低空箱调运总成本的潜在可能性也成为中欧班列空箱调运优化问题的一大特点。

(3)不确定客户节点需求决定了该问题带有随机性。考虑需求分布的不确定性，引入分布式鲁棒优化理论，假设空箱需求的概率分布为一个分布集，分布式鲁棒优化与机会约束相结合，以最坏情况下的优化为基础，得到具有鲁棒性的优化方案，即该优化方案受参数变化扰动不敏感。

当前中欧班列的运行模式为“点对点”形式，开通方向分为单向、双向两种，见图1。同一区域内节点间(中国或欧洲)空箱调运可选择公、铁、海3种运输方式，见图1(a)。跨区域中欧节点间空箱调运可选择班列运输以及海陆联运方式运输，见图1(b)、图1(c)。

图1 中欧班列空箱调运运输方式选择示意图

基于问题的3个特性以及中欧班列运行特点，研究多周期下的中欧班列空箱调运优化问题，可简化为不确定环境下的多城市多种运输方式的空箱调运问题，旨在降低班列公司空箱调运的总成本。

2 分布式鲁棒机会约束中欧班列空箱调运优化模型构建

2.1 基本假设

(1)班列的开行线路已知，各节点间的运输方式、运输时间和单位运输成本已知。

(2)可折叠集装箱在运输和存储过程中必须处于折叠状态。

(3)所有集装箱的箱型均为40 ft。

(4)空箱只能存于城市节点的集装箱场站，不能存于货源客户节点。

(5)采用海陆联运方式的空箱调运的路径已知。

(6)在每个时期内，货源客户的空箱需求必须被满足。

2.2 符号说明

参数、集合、决策变量以及数学符号见表1。

2.3 数学模型

在构建模型时，主要考虑各节点的流量平衡约束。各节点流量平衡主要以空箱库存量平衡为主，取决于前后两时期内流入与流出节点的空箱量。空箱进出示意见图2，其中纵轴代表不同节点，横轴代表决策周期。由图2(a)、图2(b)可知，流入城市节点的空箱量包括上一时期末的空箱库存量、从其他城市节点调运空箱量、该时期内的空箱供给量以及租箱量，流出城市节点的空箱量包括该时期末的空箱库存量以及调运到其他城市节点及客户节点的空箱量。由图2(c)可知，客户节点空箱流入量即为班列公司调往客户节点的标准集装箱空箱量与可折叠集装箱空箱量，流出量为客户节点的空箱需求量。

由于任意客户节点m的空箱需求量具有不确定性，为了满足该类节点的空箱需求，至少以概率ε使得客户节点m在任意周期t可用集装箱的数量ζmt不小于需求量，即P(ζmt≥dmt)≥ε。进一步，第t周期节点m可用集装箱的数量ζmt取决于空箱调入量，即

∀m∈Mt∈T

(1)

重新表达概率式为

(2)

分布式鲁棒机会约束中欧班列空箱调运优化模型为

(3)

(4)

(5)

(6)

∀i∈Nm∈Mt∈Ta∈A

(7)

(8)

∀i∈Nt∈T

(9)

∀i∈Nt∈T

(10)

∀m∈Mt∈T

(11)

表1 相关符号说明

图2 空箱进出流量示意图

目标函式(3)为最小化所有成本总和，各项成本分别为调运成本、租箱成本、存储成本以及可折叠集装箱的折叠与展开成本。式(4)、式(5)分别表示城市节点场站的标准集装箱、可折叠集装箱的空箱库存量平衡约束。式(6)、式(7)表示节点间运输容量限制。式(8)表示城市节点场站的空箱堆存容量限制。式(9)、式(10)分别表示可折叠空箱折叠数量约束、展开数量约束。式(11)表示不确定空箱需求节点的空箱需求量最坏分布情况下的机会约束。

将该机会约束转化为确定性约束

∀m∈Mt∈T

(12)

为了完成证明过程，给出引理1：机会约束式(11)等价于

(13)

证明：对于∀m∈M,t∈T，定义函数

(14)

(15)

引入拉格朗日乘积项变量矩阵Mmt，将上述带有约束的优化模型问题转化为无约束极值问题的求解：

(16)

(17)

其中：

当且仅当θ(dmt)-f(dmt)≤0，式(17)有极小值，此时存在以下两种情形：

(1)f(dmt)≥0,∀dmt∈R。

(2)f(dmt)≥1，∀dmt∈R,满足ζmt≤dmt。

情形(1)等价于Mmt≻0，情形(2)成立当且仅当存在λmt≥0使得：f(dmt)≥1-2λmt(ζmt-dmt)。

通过情形(1)、(2)可以得到存在λmt≥0，使得

(18)

所以，优化问题式(15)等价于

min〈Mmt,Σmt〉

s.t.λmt≥0Mmt≻0

(19)

进一步，机会约束式(11)等价于式(13)。

在文献[15]中，给出如下两条性质等价：

式中：0<ω≤1;Γ为协方差矩阵；x为期望向量；w为分配向量；γ∈R。

(2)存在一个对称矩阵M和τ∈R+，使得

(20)

将式(13)各式两边除以λmt，并再次用将λmt替换1/λmt，用Mmt替换Mmt/λmt，得到

(21)

因此根据式(20)，可将机会约束问题最终转换为

∀m∈Mt∈T

3 数值实验与灵敏度分析

3.1 算例背景

“一带一路”战略提出以来，各城市纷纷开通中欧班列。文献[1]指出在2016年连欧、苏满欧、义新欧、汉欧、蓉欧、渝新欧、郑欧以及营满欧8条线路的货流量达131 500 TEU，占据中欧班列货运总量的78.5%。结合货流量情况，本文选取全国主要城市的班列开通情况进行空箱调运优化的研究，见表2。

表2 主要城市班列开通情况

设置每个计划周期长度为25 d，计划周期数为12。考虑到海上运输时间较长，空箱若通过海陆联运方式调运，则需要在下一周期变为可用状态。在本算例中，将各城市确定性客户和不确定客户分别简化为一个整体，每个周期内确定性客户的空箱需求量、不确定客户的空箱需求均值、方差以及各城市空箱供给量随机产生。假定各城市节点初始空箱量为0，最大库存量不超过1 500 TEU。在同一区域内，各城市间标准空箱通过公、铁、海3种运输方式的单位运输成本分别为1.6、0.8、0.4元/km。当标准空箱在跨区域间运输时，通过班列运输的单位运输成本为0.5元/km。标准空箱的单位租箱成本6 000元/周期。标准空箱的单位存储成本为600元/周期。可折叠集装箱折叠成一个标准集装箱空间所需要的数量为4，因此可折叠集装箱各运输方式单位运输成本、单位存储成本为标准集装箱的四分之一。可折叠集装箱单位租箱成本为12 000元/TEU，折叠和展开成本均为30元/TEU。机会约束的概率下界值为0.9。

3.2 实验结果

本文采用CPLEX 12.6.2对所有模型进行求解，运用Windows7操作系统的i5-6440 CPU处理器进行运算。

3.2.1 结果分析

算例计算结果见表3。其中，数字1代表标准集装箱，数字2代表可折叠集装箱。在12个计划周期内，由于陆上的单位运输成本高于海陆联运的单位运输成本，当不考虑海陆联运方式时，总运输成本增加了3 655.85万元，这使得考虑海陆联运方式的空箱调运总成本减少了3 404.98万元。与此同时，在本算例中标准空箱的单位运输成本和单位存储成本之和不大于单位租箱成本，这势必会较少租箱，并使得存储成本降为0元。最终结果表明，一部分空箱通过海陆联运方式调回，能够极大地降低总成本。

表3 计算结果 万元

3.2.1 灵敏度分析

分析需求量变化、标准空箱与可折叠空箱供给比例变化、机会约束的概率下界值变化、不确定需求方差变化、相关单位成本变化对中欧班列空箱调运成本的影响。

(1)空箱需求量变化分析

空箱需求量增减情况下各项成本的变化情况见表4。空箱调运总成本随着需求量的增加而变大。在本算例中，当空箱需求量增加时，出现了需求大于供给的情形，会进行额外的租箱，使得租箱成本持续增加。此时由于单位运输成本和单位存储成本之和不大于单位租箱成本，存储成本会变为0。当空箱需求量减少时，会减少租箱，使得租箱成本骤减。当减少至原有值的10%以上时，出现了需求远小于供给的情形，此时租箱成本会逐渐变为0。当需求量由5%增至20%时，运输成本反而减少。当需求量减小5%时，运输成本反而增加。两次转折的主要原因是通过优化可折叠集装箱的调运量，能够实现总成本的降低。当需求量由5%减少至20%时，空箱调运的总成本在减少后又开始增加，这主要是存储成本上升导致的。

表4 需求量增减下的各项成本变化 万元

(2)标准空箱与可折叠空箱供给比例变化分析

通过调节标准空箱与可折叠空箱供给比例的变化，探究使用可折叠集装箱降低空箱调运总成本的潜在可能性。由表5可知，当可折叠集装箱供给量为0时，空箱调运的总成本最高。随着可折叠集装箱供给量比例的增加，空箱调运各项成本也在发生变化。当供给比例由0增至20%时，总成本减少4 726.99万元，当供给比例增长至50%以上时，总成本减少的程度大大降低。可见，在实际情形中，需合理地调整两者的比例，才能更好地降低总成本。

表5 可折叠集装箱不同供给比例下的各项成本变化 万元

(3)机会约束的概率下界值、不确定需求方差变化分析

由式(12)可知，机会约束的概率下界值与不确定需求方差发生变化时，会导致用来满足不确定需求客户的空箱量发生变化。表6、表7分别给出了两者变化后各项成本的变化情况。当两者增大时，会导致式(12)左边数值的增加，从而需要增加空箱的调运量，这使得总成本在逐渐增加，并且会使存储成本降为0。这也验证了本文的分布式鲁棒机会约束优化是以最坏情况下的优化为基础，从而得到具有鲁棒性的优化方案。

(4)单位租箱成本变化分析

单位租箱成本是影响空箱调运优化的关键参数，单位租箱成本变化后各项成本的变化情况见表8。可以看出，空箱调运总成本会随着单位租箱成本的增加逐渐变大。当单位租箱成本增加30%以上时，存储成本、运输成本、折叠展开成本保持不变，但租箱成本发生变化。此时，单位租箱成本已远远超过单位运输成本与单位存储成本之和，导致租箱量减少。但由于需求大于供给，系统还会向外界租箱，因此租箱成本增加。当单位租箱成本减少时，会增加租箱量，同时也会导致存储量增加，调运量减少。因此，存储成本会随着租箱量的增加而增加，相反运输成本会随着租箱量的减少而减少。

表6 不同机会约束的概率下界值下的各项成本变化

表7 方差变化下的各项成本变化 万元

表8 单位租箱成本变化下的各项成本变化 万元

(5)单位运输成本变化分析

单位运输成本变化后各项成本的变化情况见表9。可以看出，空箱调运总成本会随着单位运输成本的增加逐渐变大。当单位运输成本减少30%以上时，存储成本、租箱成本、折叠展开成本保持不变，但运输成本减少。由于需求大于供给，系统还会向外界租箱，但租箱量不变，因此租箱成本不变。存储成本不变、折叠展开成本不变、运输成本减少都是此时的系统以调箱为主，且调箱量不变导致的。综合表8、表9可知，在供给不小于需求的情况下，若单位租箱成本低于单位运输成本，则优化结果偏向于租箱；若单位租箱成本高于单位运输成本，则优化结果偏向于调运。

表9 单位运输成本变化下的各项成本变化 万元

(6)不同供需比例下的参数变化情形分析

图3给出了供给接近于需求、供给远小于需求、供给远大于需求3种情形下的单位运输成本与可折叠集装箱所占供给比例两种参数变化对成本的影响。可以看出3种供需关系下的总成本都会随着可折叠集装箱供给比例的增加而减少、随着单位运输成本的增加而增大。在3种情形下，当可折叠集装箱供给比例由0增至20%时，空箱调运总成本急剧降低，大约降低了一半。当可折叠集装箱供给比例由20%增至50%时，空箱调运总成本降低的趋势有所减缓。当可折叠集装箱供给比例达到75%以上时，空箱调运总成本的降低不显著。考虑到可折叠集装箱的获得成本相对较高，在需求量较大的情况下，应适当减少可折叠集装箱的投入比例。此外，在3种供需关系下，随着运输成本的增加，使用可折叠集装箱将能极大减少总成本。

图3 三种供需关系下的两种参数变化对总成本的影响

4 结论

本文评估了考虑海陆联运方式、使用可折叠集装箱为不确定环境下的中欧班列空箱调运减少成本的可行性，并分析了不同参数变化对总成本的影响。结果表明：第一，部分空箱通过海陆联运调回能够极大地降低总成本。第二，机会约束的概率下界值或不确定需求方差增大时，会导致式(12)左边数值的增加，从而需要增加空箱的调运量，这使得总成本在逐渐增加。第三，在可折叠集装箱供给方面，空箱调运各项成本会随着可折叠集装箱供给比例变化而改变。在三种需求情形下，班列公司只需适当投入适量的可折叠集装箱就能极大地降低总成本。因此，在实际情形中，合理调整标准、可折叠集装箱的投入比例会更好地降低空箱调运总成本。第四，单位运输成本及单位租箱成本是影响空箱调运优化的关键参数，且两者具有很大的相关性。进一步的研究将集中在重箱与空箱运输的协同优化问题。