常见均匀分布参数的最大似然估计教学小结

马骁

摘要：均匀分布参数的最大似然估计一直是概率论与数理统计教学中的一个难点和重点，为了帮助学生掌握最大似然估计方法的内容，本文归纳整理并给出了四类常见均匀分布参数的最大似然估计量的求解过程，有助于增强学生运用最大似然估计方法的能力

关键词：均匀分布;最大似然估计;点估计

最大似然估计方法是数理统计点估计中的一类重要方法，其参数估计值的选取以似然函数取得最大值为标准，相较于炬估计的方法，最大似然估计因为对总体的信息要求较高，故得到的结果可靠性更高^[1]。在概率论与数理统计教学中参数的最大似然估计方法一直是参数估计教学中的一个难点和重点^[2-3]，其困难之处主要是似然函数最大值点的求取，而在这部分内容中，均匀分布参数似然函数最大值点的计算和常规的求极值的方法有所不同^[4]，有一定的教学难度，根据教学实践经验来看对似然函数一取对数，二求导数的求极值方法普遍掌握较好，但均匀分布参数的最大似然估计对上述方法并不适用，需要借助顺序统计量得到参数估计量的表达式，故本文归纳整理常见均匀分布参数的最大似然估计量的计算结果，并用统一的方法给出求解过程，有一定的教学指导意义。

一、第一类常见均匀分布参数最大似然

假设，x₁，x₂，…x_n是其一组样本观测值，求未知参数的最大似然估计量。

解析：因为，故X的概率密度为，

则其似然函数为：，

可以看出是关于的减函数，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

显然抽样观测值x₁，x₂，…x_n和参数满足：≥max（x₁，x₂，…x_n）

故参数的最大似然估计量

二、第二类常见均匀分布参数最大似然估计

假设，x₁，x₂，…x_n是其一组样本观测值，求未知参数的最大似然估计量。

解析：因为，故X的概率密度为，

则其似然函数为：，

可以看出是关于的减函数，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

显然抽样观测值x₁，x_2，…x_n和參数满足：

≥max（x₁，x₂，…x_n），-≤min（x₁，x₂，…x_n）

故参数的最大似然估计量

三、第三类常见均匀分布参数最大似然估计

假设，x₁，x₂，…x_n是其一组样本观测值，求未知参数，b的最大似然估计量和。

解析：因为，故X的概率密度为，

则其似然函数为：，

可以看出是关于的减函数，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

显然抽样观测值x₁，x_2，…x_n和参数，b满足：

≥max（x₁，x₂，…x_n），b≤min（x₁，x₂，…x_n）

故参数的最大似然估计量，

第四类常见均匀分布参数最大似然估计

假设，x₁，x_2，…x_n是其一组样本观测值，求未知参数的最大似然估计量

解析：因为，故X的概率密度为，

则其似然函数为：，

可以看出是不含参数，

令X_（1）=min（x₁，x_2，…x_n），X_（n）=max（x₁，x_2，…x_n）

显然抽样观测值x₁，x_2，…x_n和参数满足：

+1/2≥max（x₁，x₂，…x_n），-1/2≤min（x₁，x₂，…x_n）

故参数的最大似然估计量

结语

为了降低学生学习均匀分布参数估计的难度，本文归纳整理常见均匀分布参数的最大似然估计量的计算结果，并用统一的方法给出求解过程，在作者的教学实践中显示这种模式较容易为学生掌握和理解，帮助学生掌握了极大似然估计的内容

参考文献

[1]李裕奇.概率论与数理统计第4版[M].北京.国防工业出版社，2014.

[2]李明泉.对最大似然估计法教学的探讨[J].牡丹江大学学报，2010（07）：117-119.

[3]王星.最大似然估计法浅谈[J].试题与研究：教学论坛，2019（6）：119-120.

[4]刘锐.一类均匀分布参数极大似然估计及优良性的讨论[J].吉林师范大学学报：自然科学版，2008，29（4）：95-96.