“抽屉原理”中的数学思想方法

李承梅

摘 要：“抽屉原理”是人教版六年级下册数学广角的教学内容。“抽屉原理”看似简单，但是要让小学生建构自己的认知和理解确实不容易，必须经历探究的过程，在过程中理解抽屉原理，渗透枚举、假设、模型、类推思想，从而能用“抽屉原理”解决简单的实际问题。

关键词：数学;思想;方法

数学教材体系有两条基本线索：一条是数学知识，这是明线，另一条是数学思想方法，这是暗线。从本节课数学知识的角度看，明线就是初步了解抽屉原理，会用“抽屉原理”解决简单的实际问题，暗线就是在完成明线过程中渗透数学思想方法。

一、分析和研究教材，建立知识点联系，归纳和揭示其蕴含在数学知识中的数学思想方法

抽屉原理是六年级下册数学广角的教学内容，数学广角的内容属于“综合与实践”内容，设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题能力，包括解决问题、实践活动，都是为了提高学生解决现实问题的能力，领悟数学思想、积累数学活动经验。如何在教学上发挥学生主体作用突破这些教学难点并渗透数学思想方法呢？经过深入研究教材和学情，我制定了如下教学目标：1.通过猜测、验证、观察、分析等数学活动，初步了解“抽屉原理”;2.会用“抽屉原理”解决简单的实际问题;3.建立数学模型，发现规律，渗透枚举、假设、模型、类推思想。

为完成教学任务和突破抽屉原理研究的是物体数最多的一个抽屉里最少会有几个物体的教学难点，我对教材和教学过程处理如下：首先对教材进行了处理，在上此课之前加入一节课“最不利原则”的学习，有了最不利原则的学习，再上抽屉原理课，使学生明白要想使放得最多的抽屉的苹果放得尽可能少，就要做“最不利”的打算，学生就会自觉使用学过的“枚举法”或“假设法”想到每个抽屉都要平均放苹果，就会使得放得最多的抽屉的苹果放得尽可能少的教学难点。二是通过二次的自主实践，让学生在活动、师生对话、类推的体验过程中逐步明白用“假设法”解决抽屉问题的优越性，使学生体会到优化思想。

二、学生动手操作、画一画、算一算，理解抽屉原理，感受枚举法、假设的思想

教学例题1：把4支铅笔放进3个文具盒，不管怎么放总有一个文具盒至少放进几支铅笔？

师：把4支铅笔放进3个文具盒，可以怎样放？ 有几种不同的放法？（在教学中先让学生动手操作、画图，找出解决问题的方法。）

生1：可以用实物摆一摆。

生2：可以画一画图。

生3：可以说理。

①学生自主探究

师：现在请同学们自己选择其中的一种方法进行解答。

②反馈。

师选择典型的画法放在黑板上。

生1：畫图

生2：

生3：列算式

4÷3=1（支）……1（支）   1+1=2（支）

随后教师提问“这两种画图的方法均采用了什么方法？”“枚举法要注意什么？”无疑都是对枚举法的再一次的回顾和渗透。

反馈枚举法

师：看黑板上的第一个学生和第二个学生所用的方法有什么共同点？

生：均用了枚举法。

师：枚举法要注意什么？

生：有序、不重复、不遗漏。

师：说得好！看这两位同学枚举的符合这三个条件吗？

师根据学生的回答，适时归纳枚举法的简便记法;

生1的方法可以记作：（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）

生2的方法可以记作：（4，0，0）（3，1，0）（2，0，2）（2，1，1）

你们发现有什么不同？

根据学生的发现归纳总结，（2，0，2）（2，2，0）（0，2，2）放在不同的盒子里，但表示的是至少有一个盒子里保证有2支铅笔

再次引导学生得出总有一个盒子里放进了4支铅笔、3支铅笔、2支铅笔。

师小结：3个盒子里装得最多的4支铅笔，还会更多吗？ 装的最少的是2支，还有装得更少的情况吗？

生：没有。

师：请你们试着用一句话概括一下。

生：总有一个文具盒里至少装了2支铅笔（师板书）。

反馈假设法

师：（指着黑板上的算式）谁能用语言解释这个算式？

生：如果每个文具盒先各放1支铅笔，放掉3支铅笔，剩下的1支无论放在哪个文具盒里，总有一个文具盒放了2支铅笔。（课件演示）

师：为什么先要平均分呢？

生1：根据最不利原则，这样只分一次就可以确定放得最多的盒子里至少放了几支铅笔。（根据这种回答，师评价说“只分一次”说得好，这样就不用将所有的情况枚举出来了。）

生2：平均分，可以使放得最多的文具盒里的铅笔数尽可能少。

师小结：是呀，刚才我们研究的是所有方法中放得最多的那个文具盒里至少放了几支笔，怎样使得这个放得最多的文具盒里的笔尽可能少，那就得平均分。

③探究n+1支铅笔放进n个文具盒的问题

师：那我们再往下想，5支铅笔放在4个文具盒里，你感觉会有什么结论？6支铅笔放进5个文具盒里，你们又有什么发现？并说一说为什么？如果一直让你往下说，你会说吗？……说几个之后，你们发现了什么？学生自然就总结出规律，形成抽屉原理1“把n+1支铅笔放进n个文具盒，总有一个文具盒里至少放了2支铅笔”。

学生有了第一个例子研究的基础，和原有的代数初步知识作为基础，就会通过类推得出一般性的结论，在类推的过程中，有意识地引导学生用假设法进行解释，这样的教学过程，从数学思想方法渗透层面和知识层面上对学生进行了提升，有助于发展学生的类推能力，形成比较抽象的数学思维。

三、引导学生独立思考，能用假设法进行解释，通过对比，逐步学会运用一般的数学方法解决问题

教学例2：把5本书放进2个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？

①独立思考，讨论汇报

生1：5÷2=2本……1本 1+1=2本 把5本书放进2个抽屉，如果先平均分每个抽屉里先放2本，还剩1本，这本书不管放到哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少有3本书。

生2：用枚举法也可以得出总有一个抽屉里至少放了3本书。

师调查此时有多少同学用了枚举法，有多少同学用了假设法。

师：你们为什么都不用枚举法，而用假设法了？

生：这样简单，只要平均分就可以得出放得最多的抽屉里最少放几本书。

②归纳总结，拓展延伸

把7本书，9本书，25本书，33本书，99本书放进2个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有几本书？

学生独立思考、讨论后汇报：

板书如下。

7÷2=3本……1本 3本+1本=4本

9÷2=4本……1本 4本+1本=5本

25÷2=8本……1本 8本+1本=9本

33÷2=16本……1本 16本+1本=17本

99÷2=16本……1本 44本+1本=45本

师：观察板书你能发现什么？

生1：只要用 “商+ 1”就可以得到。

生2：是“商+余数”。

师：到底谁的结论对呢？我们进一步尝试。

师变换抽屉数在小组里进行研究、讨论。

经过讨论得出是“商+ 1”

……

在例2教学过程中，教师给学生独立思考的空间，不断讨论汇报，大部分学生使用假设法，只有两三个学生使用枚举法，教师巧妙质疑学生“你们为什么都用假设法，而不用枚举法了？”学生均能用最不利原则说出理由，对假设法的体会更为深刻，自然对算理的理解很到位。

总之，在教学中如果对数学思想方法的渗透比较到位，学生在解决新问题时，自然会使用數学思想方法，同时在自我反思的过程中，会选择简单的方法思考。这就是我们数学教学所要追求的——掌握解决问题的方法，学会思考问题。

参考文献

[1] 王文娟.如何在小学数学教学中渗透数学思想方法[J].学周刊，2018（27）：64-65.

[2] 牛献礼.“抽屉原理”教学实录与思考[J].小学数学，2010（14）：109-111.