复合型线路缓和曲线部分的误差研究

田正华 吴迪

摘 要：本文对缓和曲线在切线坐标系中近似公式的取项进行误差分析。结果表明，在复合型线路和精度要求较高的桥梁施工建设中，缓和曲线弧长和缓和曲线终点半径在比值大于等于1，利用缓和曲线切线坐标系下的公式进行计算时，有时不能按照近似公式进行取項，应当适当增加公式中的高次项，建议取到公式第五项后。

关键词：缓和曲线;匝道;切线坐标系

中图分类号：U412.34文献标识码：A文章编号：1003-5168（2020）22-0093-03

Abstract： In this paper， the error analysis of approximate formula of transition curve in tangent coordinate system was carried out. The results show that when the ratio of the arc length of the transition curve and the end radius of the transition curve is greater than or equal to 1， when the formula under the tangent coordinate system of the transition curve is used to calculate， sometimes the term cannot be taken according to the approximate formula. It is suggested that the higher-order term in the formula should be added appropriately， and it is suggested to take the fifth term after the formula.

Keywords： transition curve;ramp;tangent coordinate system

随着交通行业的快速发展，城市之间的距离被大大缩短，而高速公路则是连接城市与城市之间最快捷的通道。在高速公路的匝道处，道路的平面线型特殊，常伴有一些复合型平面线路中线、[S]型平面线路中线和卵形线路中线。这些线路中线与常见的线路中线类型相比具有特殊性，如线路转角较大;交点处缓和曲线长度大于圆曲线长度;一些匝道附近不出现圆曲线而直接由缓和曲线相连。本文重点讨论在这些线型中，对缓和曲线的切线坐标系计算时保留项数的问题。

1 缓和曲线特性

如图1所示：缓和曲线连接直线和圆曲线，它与直线相切的切点处，半径为无穷大[ρ=∞]，随着曲线长度的逐渐增长，其曲率半径[ρ]逐渐减小，直到和圆曲线相接处的半径为圆曲线的半径。缓和曲线具有的特性是曲线上任一点的曲率半径[ρ]与该点至起点的曲线长[L]成反比，即

式中：[C]为缓和曲线半径变更率，是一个常数;[L]为缓和曲线上任意点至缓和曲线起点的曲线长。

具有上述特性，可作为缓和曲线的线形有多种，我国公路、铁路多采用回旋曲线（辐射螺旋线）。

2 缓和曲线方程式

如图2所示：以缓和曲线起点的切线方向为[x]轴，与切线方向垂直，且过缓和曲线的起点与缓和曲线在同一侧为[y]轴，建立切线坐标系。[L]表示缓和曲线上任意一点到缓和曲线起点的弧长;[β]表示缓和曲线上一点与[x]轴的夹角;[L0]表示缓和曲线长;[R]表示线路中缓和曲线终点，或圆曲线起点的半径。在缓和曲线上取一段微分弧长[dL]，弧长对应的圆心角为[dβ]，则：

记[xi]、[yi]分别为公式中[x]和[y]的第[i]项的绝对值。

公式中略去高于7次方的项即为：

式中，[x、y]为缓和曲线任意点的坐标。[R]为设计半径;[L]为缓和曲线上任意点至缓和曲线起点的曲线长;[L0]为缓和曲线长。

3 近似公式的误差

公式（10）的近似误差可以用省略的高次项的首项估计，这个值与缓和曲线起点到该点的弧长[L]、缓和曲线长[L0]和缓和曲线终点的半径[R]有关。对于同一缓和曲线，当[L=L0]时误差最大，一般该值小于0.1 m就满足设计要求，小于0.005 m满足桥梁测设精度要求。接下来只讨论[L=L0]时的误差。

缓和曲线是在直线和圆曲线间插入的一段曲率半径由无穷大渐变至圆曲线的半径的过渡曲线。设置缓和曲线的作用是使铁路、公路线路在曲线部分的超高和加宽由直线进入圆曲线时超高和加宽逐渐变化达到应有的加宽和超高，具有缓和过渡作用。缓和曲线主要应用于国家等级铁路和三级以上的公路。《公路工程技术标准》（JTG B01—2017）规定：“缓和曲线的长度应根据其计算行车速度求算”[1]，并规定了最小值。当[R]>100 m时，缓和曲线采用最小值，根据公式（10）计算的误差很小，可以忽略。

根据项目实际经验，缓和曲线在线路中的取值如表1所示。

研究者将上述取值结合《公路工程技术标准》（JTG B01—2017）规定采用数值模拟的方法，模拟不同缓和曲线长对公式（10）的误差进行估算，得到的结果如表2所示。

由表2可以看出，当[L0R<1]时，公式（10）的近似精度是可以满足缓和曲线设计要求。

当[L0R≥1]时，公式（10）的近似精度就不能满足设计要求，特别是高速路口匝道处，一些非标准线型和桥梁工程等测量精度要求高的工程中更是如此。

那么公式（10）的误差究竟有多大，高次项究竟取到第几项才能达到规范要求。根据《公路路线设计规范》（JTG D20—2017），如果采用基本型或S型曲线，应保证圆曲线最小长度与回旋曲线长度相等，则最长[L0]满足[2]：

如果回旋线间不插入圆曲线而形成凸型曲线，则：

[α]取最大值5.5弧度，则[L0R=5.5]。

公式余项的误差大小如表3所示。

从表3不难发现，在规范要求下，公式（10）的精度完全达不到规范要求，但当[L0R=2.75]时，对公式（10）增加一项余项，基本就可满足要求;当[L0R=5.5]时，公式（10）则需增加两项余项才能满足规范要求[3-5]。

4 结语

在复合型线路和精度要求较高的桥梁施工建设中，当出现[L0R≥1]时，利用缓和曲线切线坐标系下的公式进行计算时，有时不能按照近似公式进行取项，应当适当增加公式中的高次项，建议取到公式第五项后。

参考文献：

[1]中华人民共和国交通运输部.公路工程技术标准：JTG B01—2017[S].北京：人民交通出版社，2017.

[2]中华人民共和国交通运输部.公路路线设计规范：JTG D20—2017[S].北京：人民交通出版社，2017.

[3]张志刚.线桥隧施工测量[M].成都：西南交通大学出版社，2014.

[4]黄家宏.缓和曲线近似公式的取项[J].硅谷，2008（6）：92.

[5]卢印刚.公路缓和复曲线（卵形曲线）特性的研究及其应用[J].矿山测量，2006（4）：53-56.