周善宏
数学教学的根本任务是优化学生的思维,培养学生的能力,使学生积极参与到知识的形成过程中去。一题多变的教学,正是有目的地从多方面、多层次、多角度去培养学生理解数学概念的能力,提高其思维品质。
一、立足教材,理解概念
《圆的有关性质》是通过与圆有关的线段(如直径、弦等)、角(如圆心角、圆周角等)和弧体现的。教学时,笔者出示下面这道习题:如图1,A、P、B、C是⊙O的四个点,∠APC=∠BPC=60°。判断△ABC的形状,并证明你的结论。
生1 :△ABC是等腰三角形。
生2 :△ABC是等边三角形。
师:等边三角形的判定有哪些方法?
生3 :①三边都相等的三角形叫等边三角形;②三个角都相等的三角形是等边三角形;③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
师:想一想,如何将圆周角∠APC、∠BPC转化为△ABC的内角?
生4:同弧或等弧所对的圆周角相等,所以∠ABC=∠APC=60°,∠BAC=∠BPC=60°。
师:根据以上讨论,判断△ABC的形状,并证明你的结论。
生5:△ABC是等边三角形。因为∠ABC=∠APC=60°,∠BAC=∠BPC=60°,所以∠ACB=180°-(∠ABC+∠BAC)=60°, ∠ABC=∠BAC=∠ACB,所以△ABC是等边三角形。
师:很棒!你用的是判定定理②,大家可以分别用判定定理①、③尝试一下。
二、条件不变,挖掘结论
数学学习讲求灵活变通、触类旁通。要达到这样的效果,笔者需要抓住典型题目,引导学生通过多种方式开展探究。
师:已知条件不变,除上述结论外,大家还有什么发现,比如线段PA、PB、PC有什么等量关系?
生1:PC=PA+PB。
师:证明一条线段等于另外两条线段的和(差),一般用什么方法?
生2 :截长法、补短法。
师:用“截长法”如何验证?
生3:如图2,在PC上截取PD=PA,连接AD,易证∠ADC=∠APB=120°、∠ACD=∠ABP、AC=AB,所以△ACD≌△ABP、DC=PB,最后得出结论:PD+DC=PA+PB,即PC=PA+PB。
师:非常棒! 那么用“补短法”又如何验证呢?
生4:如图3,延长BP至D,使PD=PA,连接AD,易证∠APC=∠ADB=60°、∠ACP=∠ABD、AC=AB,所以△ACP≌△ABD、PC=DB,又因为DB=PD+PB=PA+PB,所以PC=PA+PB。
师:非常好!经过验证,你们的猜想是正确的。
三、增加条件,变换结论
有了发现之后,学生兴趣大增。笔者趁热打铁,增加条件,变换结论,进一步激发学生的兴趣,培养其探索和创新能力。
师:如图4,A、P、B、C是⊙O上的四个点,∠APC=∠BPC=60°,过点A作AD⊥PC于D。判断线段PB、PD、CD的等量关系,并证明结论。
生1:CD=PD+PB。
师:用“截长法”如何验证?
生2:如图5,在CD上截取ED=PD,连接AE。易证∠AEC=∠APB=120°、∠ACE=∠ABP、AC=AB,所以△ACE≌△ABP,EC=PB,所以ED+EC=PD+PB,即CD=PD+PB。
师:太棒了! 那么用“补短法”又如何验证呢?
生3:如圖6,延长BP至E,使PE=PD,连接AE。易证∠ADC=∠AEB=90°、∠ACD=∠ABE、AC=AB,所以△ACD≌△ABE、CD=BE。又因为BE=PE+PB=PD+PB,所以CD=PD+PB。
四、部分条件、结论互换
通过挖掘,有了发现,经过变换,有了提高,学生的兴趣越来越浓。笔者把部分条件、结论互换,进一步把探究引向深入。
师:再来看第一道例题,如图1,A、P、B、C是⊙O上的四个点,△ABC是等边三角形,求∠APC、∠BPC的度数。
生1:∠APC=60°,∠BPC=60°。
师:你是怎么发现的?
生1:因为△ABC是等边三角形,所以∠ABC=∠BAC=60°,∠APC=∠ABC=60°,∠BPC=∠BAC=60°。
师:A、P、B、C是⊙O上的四个点,△ABC是等边三角形,求∠APC、∠BPC的度数。
生2:没变。
师:好好想想,“如图”与“无图”有什么区别?
生3:如图,需按指定图形数形结合;无图,则需自己画图,分类讨论。
师:没有“如图”的情况下,一定要规范画图,分类讨论。动手试一试吧!
生4:有三种情况。除了图1,还有图7、图8两种情况。
师:如何分类讨论呢?
生5:如图1,当点P在AB上时(不与点A、B重合),∠APC=60°、∠BPC=60°。
生6:如图7,当点P在AC上时(不与点A、C重合),∠APC=120°、∠BPC=60°。
生7:如图8,当点P在BC上时(不与点B、C重合),∠APC=60°、∠BPC=120°。
立足教材、变式整合,从变中总结解题方法、发现解题规律,从变中发现“不变”,既培养了学生思维的灵活性,又由表及里、由此及彼、举一反三,将学生的思维引向深处。
(作者单位:丹江口市均县镇初级中学)
责任编辑 张敏