任一凡
证明全等三角形的方法比较多,我发现,无论用什么方法,关键在于如何根据条件选择分析的视角,有时可以从三角形的边出发,有时可以选择“等角”作为分析的起点。下面是我总结的几类从找等角入手来找三角形全等条件的方法。
一、由“和差关系”找等角
已知,如图1,AC=AE,∠B= ∠D,∠DAB=∠CAE,试说明BC=DE。
要说明BC=DE,只要说明△ABC≌△ADE即可。而目前已经具备一组对应角以及这组对应角的对边对应相等,只要再找一组对应角相等就行了。已知∠CAE=∠DAB,根据角的和差关系,可得∠DAE=∠BAC,于是问题迎刃而解。
二、见平行线找等角
已知,如图2,点E、F 在CD 上,且DE=CF,AE∥BF,AC∥BD,試说明AC=BD。
要说明AC=BD,关键要说明△BFD≌△AEC。已知DE=CF,根据线段的和差关系,可得DF=CE。条件中有两组平行线,见平行线找等角,于是可以找到两组对应角相等,从而利用“ASA”证明了△BFD≌△AEC。
三、见直角找“同角的余角相等”
已知,如图3,AC=CD,∠ACD=90°,点E 为AC 延长线上的一点,连接DE,过点A 作DE 的垂线,垂足为F,交CD 于点B。求证:AB=DE。
要证明AB=DE,只要证明△ABC≌△DEC即可。由∠ACD=90°可得∠ACB=∠DCE,又AC=CD,还差一个全等的条件。当题中直角比较多的时候,我一般会想到运用“同角的余角相等”来找等角。∠A、∠D 分别与∠E 互余,于是∠A=∠D,证明全等的条件就齐了。
其他的等角像公共角和对顶角,在图形中能比较容易看出来。在等腰三角形、等边三角形、正方形等特殊图形中也存在等角。大家在以后的学习中可以慢慢体会。
教师点评
全等三角形是证明角相等、线段相等的重要工具。在初学全等三角形时,很多同学常常会因为找不到全等的条件而发愁。当证明全等三角形缺少条件时,大部分题目往往可以先从找等角入手。小作者联系自己平时的学习,介绍了几种找等角的方法,同时还配以习题说明,归纳得非常全面、细致,值得同学们学习。