由“筝形”引发的探究之旅

陈建

暑假期间，小明用5根木棒制作了如图1所示的模型。其中，AD 的长与AB 的长相等，BC 的长与DC 的长相等，并分别用可旋转的螺丝连接，木棒BC 与DC 的连接处C可在木棒AE 上滑动。小明发现：当C 在可滑动范围内滑动时，∠B 与∠D 的度数始终相等。这是为什么呢？小明百思不得其解。开学后小明学习“全等三角形”，突然有了灵感：这不就是全等三角形问题吗？

这个问题可以用数学语言表达：

小明想，∠B 和∠D 分别在△ABC 和△ADC 中，只需证明这两个三角形全等即可。而AB=AD，CB=CD，AC 又是公共边，显然可用“SSS”证明全等。

小明又琢磨，如果没有AE 这根木棒，∠B 与∠D 还相等吗？他想到，要证角相等，还是要借助三角形。于是，他连接AC，居然和上面问题完全一样。此时，小明由此得到启发：在证明两个三角形全等时，一定要注意隐藏条件，如公共边、公共角、对顶角，有时要学会构造，如构造公共边，这是证明全等三角形时常用的一种辅助线。

这种两组邻边分别相等的四边形和风筝的形状相似，小明觉得这个模型非常神奇，于是他上网搜索。他发现，原来，人们把具备这种特征的四边形称为“筝形”。“筝形”不仅简洁、美观，而且还有许多性质。

性质1 “ 筝形”具有一组对角相等（∠B=∠D）。

性质2 “筝形”的一条对角线平分一组对角（如图3，∠BCA=∠DCA，∠BAC=∠DAC）。

性质3 “筝形”的两条对角线互相垂直，面积等于两条对角线积的一半（如图3，AC⊥BD，S 四边形ABCD=12AC·BD）。

小明发现，性质1、性质2 可以通过△ABC≌△ADC 得到，对于性质3的证明，可以用数学语言表达如下：

已知，如图3，AB=AD，CB=CD，对角线BD 与AC 交于点O，若AC=8，BD=6，求四边形ABCD 的面积

小明想，“筝形”没有面积计算公式，需要把“筝形”转化为熟悉的图形来求面积。对角线AC 把“筝形”分割成△ABC 和△ADC，那么我们便可以计算两个三角形的面积，于是解题关键就是找出AC 边上的高。因为△ABC≌△ADC ，所以∠BCO= ∠DCO 。在△BCO 和△DCO 中，可以利用“SAS”证明全等，所以∠BOC=∠DOC=90°，即AC⊥BD，所以S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=12AC·OB+12AC·OD=12AC·（OB+OD）=12AC·BD=24。

小明运用转化的思想方法，将“筝形”问题转化为三角形问题，从而得出“筝形”面积的计算方法。转化是我们解题中常用的思想方法。其实，只要是对角线互相垂直的四边形，其面积都等于对角线长度的积的一半。

利用“筝形”的性质，可以解决许多问题，我们来看两道例题。

例1 如图4，AB=AD，CB=CD，点E 是AC 上一点，连接BE、DE，试说明BE=DE。

【解析】只需证明△BCE 与△DCE 全等或证明△ABE 与△ADE 全等。因为△ABC≌△ADC，所以∠BCE=∠DCE，所以在△BCE 和△DCE 中，可以利用“SAS”证明全等。

例2 如图5，AB=AD，CB=CD，∠BAD=100°，四边形ABCD 的外角平分线CF 与AB的延长线交于点F，求∠F。

【解析】由性质2可知CA 平分∠BCD，又CF 平分∠BCE，∠BCD 和∠BCE 互为邻补角，所以易得∠ACF=90°，这是求∠F 的关键。所以∠F=180°-∠ACF -∠BAC=40°。

我们在解决选择题和填空题时，运用“筝形”的性质可以节省不少时间。当然，这只能算是“小明定理”，在解答题中必须要给出证明步骤。