分类例说，突破“重围”

吴凡

一元二次方程的学习是同学们继学习了一元一次方程、二（三）元一次方程（组）、可化为一元一次方程的分式方程等知识之后，对方程的继续探究学习，所以在人手时较为简单。在方程求解过程中，借助转化的思想，我们可将一元二次方程降次为一元一次方程来解决，因此前面所学的解方程的知识对本章的学习有着很好的铺垫作用。同时，一元二次方程的学习与一元二次不等式、二次函数的学习也有着极大的关联。我们还能发现本章的学习来自生活实际，最终又回到了生活实际，体现了方程是刻画现实世界中数量关系的有效模型。

学习中，我们首先要明确本章的具体学习目标：

1.理解并会运用配方法、公式法、因式分解法解含数字系数的一元二次方程;

2.会用一元二次方程根的判别式判别该方程是否有实数根以及两个实数根是否相等;

3.了解一元二次方程的根与系数的关系;

4.能根据具体问题中的数量关系列出方程，解决实际问题。

下面我们结合具体例题，一起来看看一元二次方程这一章中的主要知识点及常见考题。

知识点1 解数字系数的一元二次方程

例1 （2020·江苏南京）解方程：x²-2x-3=0。

【分析】先观察这个方程的结构，这是一元二次方程，且a=1，b=-2，C=-3，我们可以选择配方法或者因式分解法来解。

解法一（配方法）：

移项，得X²-2X=3，

配方，得X²-2X+1²=3+1²，

即（x-1）²=4，

由此可得x-1=±2，

所以x₁=x₂=3。

解法二（因式分解法）：

原方程可变形为（x+1）（x-3）=0，

x+1=0或x-3=0，

所以x₁=-1，x₂=3。

例2 （2019·江苏扬州）一元二次方程x（x-2）=x-2的根是______。

【分析】先观察这个方程的结构，发现等号两边都有x-2，我们可以移项为x（x-2）-（x-2）=0，因此可以选择因式分解法（提取公因式）來求解，或者将这个方程化成一般式x²-3x+2=0，选择公式法或配方法来解。

【答案】x₁=2，x₂=1。

知识点2 一元二次方程的根与系数的关系

此类知识点主要有两类考查形式：（1）判断该方程有几个实数根或两个实数根是否相等;（2）一元二次方程的实数根与系数间有怎样的关系。这类题型可通过b²-4ac的符号来判断ax²+bx+c=0是否有实数根或者有几个实数根，具体方法如下。

当b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根;

当b²-4ac=0时，有两个相等的实数根;

当b²-4ac<0时，没有实数根。

对于一元二次方程根与系数的关系，也可在了解以下知识的基础上来解题。

方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根是x₁、x₂，那么有x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a。

例3 （2019·江苏淮安）若关于x的一元二次方程x²+2x-k=0有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围是（ ）。

A.k<-1 B.k>-1

C.k<1 D.k>1

【分析】由信息“方程x²+2x-k=0有两个不相等的实数根”可知：当b²-4ac>0时，此方程有两个不相等的实数根。因此b²-4ac=2²-4×1×（-k）=4+4k>0，即k>-1，故选B。

【答案】B。

例4 （2019·江苏盐城）关于x的一元二次方程x²+kx-2=0（k为实数）的根的情况是（ ）。

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

B.没有实数根

D.不确定

【分析】在此题中，b²-4ac=k²-4×1×（-2）=k²+8>0，因此该方程有两个不相等的实数根，选A。

【答案】A。

知识点3 用一元二次方程解决实际问题

一般情况下，我们在认真审题的基础上，可以借助表格、图表等多种手段来厘清题目中的等量关系，从而建立关于x的一元二次方程，再通过解此方程来解决实际问题。

例5 在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B移动;同时，点O从点B出发沿BC以2cm/s的速度向点C移动，几秒钟后△DPQ的面积等于28cm²？

【分析】对于此类实际问题，我们先要认真审题，尝试找出题目中的等量关系，再用数学符号语言来表示它们，最后写出关于所设未知数的方程，解方程，从而解决问题。在此题中，我们不妨设xs后△DPQ的面积为28cm²，然后结合面积关系，得到数量关系：矩形ABCD的面积-△DAP的面积-△QPB的面积-△QCD的面积=28，从而列出方程。

解：设xs后△DPQ的面积为28cm²，则△DAP，△QPB，△QCD的面积分别为1/2×12x，1/2×2x×（6-x），1/2×6×（12-2x）。

根据题意，得

6×12-1/2×12x-1/2×2x×（6-x）-1/2×6×（12-2x）=28，

即x²-6X+8=0.

解这个方程，得x₁=2，x₂=4。

答：2s或4s后△DPQ的面积等于28cm²。