理清思路，志在必得

文 刘 佳

“一元二次方程”安排在九年级上册第一章，是初中阶段学习的最后一类方程，同时也为后面二次函数的学习做了铺垫。在学习一元二次方程时，我们的研究路径一般是“概念—解法—应用”。一元二次方程与之前所学的方程又有不同之处，即一元二次方程的根与系数的关系作为每年中考必考知识点，简单，易得分。下面围绕这个知识点介绍几种类型的题目，希望同学们能熟练运用。

例1已知关于x的方程x2-6x+m2-3m-5=0的一个根是-1，求方程的另一个根和m的值。

【分析】这道题方法不唯一，你是怎么思考的？

方法一：把x=-1代入原方程，得到关于m的一元二次方程。求出m的值，再代入原方程求解。该方法没有用到一元二次方程根与系数的关系，仅利用解一元二次方程解决的。

方法二：由题意，可知a=1，b=-6，c=m2-3m-5。由一元二次方程的根与系数的关系可得寻求到突破口，解决问题。

解法一：把x=-1代入原方程，得1+6+m2-3m-5=0。

整理，得m2-3m+2=0。

解这个方程，得m1=2，m2=1。

把m1=2代入原方程，得x2-6x-7=0。

解这个方程，得x1=-1，x2=7。

所以方程的另一个根是7，m的值是1或2。

解法二：由题意，得a=1，b=-6，c=m2-3m-5。

把x=-1代入，得另一个根为7。

m2-3m-5=-1×7=-7。

解这个方程，得m1=2，m2=1。

所以方程的另一个根是7，m的值是1或2。

例2已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为-3和-1，求p、q的值。

【分析】方法一：把两根分别代入原方程，得到关于p、q的二元一次方程组，解这个方程组即可。

方法二：由题可知a=1，b=p，c=q，由一元二次方程的根与系数的关系可得x1+x2=进而求解。

解法一：把方程的两个根分别代入方程，得整理，得

例3设x1、x2是方程x2+mx+3=0的两个根，且x1+x2-x1x2=1，则m=____。

【分析】由题可知a=1，b=m，c=3，根据题意，利用一元二次方程的根与系数的关系可得x2-x1x2=1，解出m的值即可解决问题。

解：由题意，得a=1，b=m，c=3，

得-m-3=1，

∴m=-4。

例4（2020·江苏南通）若x1、x2是方程x2-4x-2020=0的两个实数根，则代数式-2x1+2x2的值等于________。

【分析】由题意可知：a=1，b=-4，c=观察代数式-2x1+2x2，前面的-2x1配方得到（x1-1）2-1，后面的-2x1+2x2提公因式得到-2（x1-x2）。它们皆和根与系数的关系联系不上。我们再回头观察方程特征，x2-4x-2020=0，x1是方程实数根，代数式中出现了这项，把x1代入方程可得-4x1-2020=0，-4x1=2020，那么-2x1+2x2=-4x1+2x1+2x2=-4x1+2（x1+x2）。适当地变形，问题便迎刃而解。

解：由题意，得a=1，b=-4，c=-2020，

因为x1是方程x2-4x-2020=0的实数根，

通过这四个例题，同学们能大致了解根与系数关系这个知识点考查的题目类型了吧？前两个例题列举的这两种方法，还可以在一些综合题中穿插使用，但其本质不变。同学们在以后的解题过程中，应学会灵活运用一元二次方程的相关知识点，巧妙解决此类问题。