不一样的“边边角”

文董翠花

我们知道，在判定三角形全等的条件中，“边边角”是不能作为判定三角形全等的条件的。这是为什么呢？

如图 1，在△ABC中，以点A为圆心，AC长为半径画弧，与BC相交于点D，此时△ABC和△ABD满足AB=AB，∠B=∠B，AD=AC，但显然△ABC和△ABD不全等。

那么，两个三角形具备了“边边角”的条件，就一定不全等吗？答案是否定的。

相信同学们不难想到“HL”定理。课本中给出了证明过程。我们通过画图来直观感知。如图 2，∠B=90°，AB长度一定，以点A为圆心，定长为半径画弧，与∠B的另一边相交于点C，此时交点唯一。也就是说，两个三角形如果具备了“边边角”的条件且相等的角是直角，那么三角形的形状就确定了，这两个三角形就全等。

在“边边角”的条件下，如果相等的角是钝角呢？

如图 3，∠B＞90°，AB长度一定，以点A为圆心，定长为半径画弧，与∠B的另一边相交于点C，此时交点也唯一，三角形的形状也确定了。因此，如果两个三角形具备了“边边角”的条件且相等的角是钝角，那么这两个三角形全等。证明过程留给同学们。

在“边边角”的条件下，如果相等的角是锐角呢？

在图1 中我们发现当∠B＜90°时，以点A为圆心，定长为半径画弧，圆弧与∠B的另一边有两个交点C、D，满足“边边角”条件的三角形形状就不确定了。是什么因素决定了交点的个数呢？相信同学们不难发现，这跟AB、AC的长度有关。当AB＜AC时，如图 4，圆弧与∠B的另一边只有一个交点；当AB=AC时，如图5，圆弧与∠B的另一边有两个交点，但其中一个交点与点B重合。也就是说，在“边边角”的条件下，当∠B是锐角时，如果AB≤AC，三角形的形状是确定的，两个三角形是全等的。具体的证明留给同学们。

我们回头再看一下图2 和图3 会发现，在这两种情形中，同样有AB≤AC。因此，我们不难得出：两个三角形在满足“边边角”的条件下，只要该角的邻边小于或等于该角的对边，这两个三角形一定全等。