高阶一致椭圆型算子第二特征值上界估计的不等式

2020-09-15 02:38赵晓苏钱椿林
关键词:分部特征值高阶

赵晓苏,钱椿林

(苏州市职业大学数理部,江苏 苏州 215104)

1 本文主要结果

设Ω⊆Rm(m≥2)是有界区域,Ω具有逐片光滑的边界∂Ω,考虑下列特征值问题:

(1.1)

μ1≤ai1i2…is(x)≤μ2,i1,i2,…,is=1,2,…,m

(1.2)

v1≤bj1j2…jr(x)≤v2,j1,j2,…jr=1,2,…,m

(1.3)

其中0<μ1≤μ2,0

关于问题(1.1)的等号两边都是调和算子的第二特征值估计,目前已有结果,问题(1.1)的等号左端是一致椭圆型算子,等号右端是调和算子的第二特征值估计,也已有结果,问题(1.1)的等号左端是四阶一致椭圆型算子,等号右端是二阶一致椭圆型算子的第二特征值估计,可参见文献。问题(1.1)的等号左端是高阶一致椭圆型算子,等号右端r是二阶一致椭圆型算子的第二特征值估计。在本文中,研究问题(1.1)的等号左端是高阶一致椭圆型算子,等号右端是r阶一致椭圆型算子。将文献[1]中的问题进一步推广,并文献[2]中的方法加以改进,对于问题(1.1)得到了可由第一特征值来估计第二特征值上界的估计不等式,并且估计的系数与区域度量无关,所得结果在力学和微分方程的研究中有着广泛的应用。

定理 设λ1,λ2是问题(1.1)的两个第一、第二特征值,且0<λ1<λ2,则有

(1.4)

2 定理的证明

(2.1)

利用分部积分和(2.1),得

(2.2)

利用分部积分和(2.2),有

(2.3)

利用(1.2)和(2.3),得

(2.4)

利用(1.3)和(2.2),有

(2.5)

φk(x)=(xk-qk)u

其中

式中

利用分部积分,直接计算得

(2.6)

(2.7)

从(2.7)知,φk与u带权正交,且满足

利用Rayleigh定理,成立着

(2.8)

计算得

(2.9)

式中

利用分部积分和φk(x)=(xk-qk)u,有

(2.10)

结合(2.9)和(2.10),得

(2.11)

利用式(2.11),有

(2.12)

利用(2.8)和(2.12),有

(2.13)

引理1:设u是问题(1.1)所对应第一特征值λ1的特征函数,则

证:对于(a),利用数学归纳法,当t=1时,等式(a)显然成立。假设对t=k等式(a)也成立。

当t=k+1时,由归纳假设,可得

故引理1(a)成立。

对于(b),继续使用归纳法,t=1时,利用(2.5)的右端,不等式显然成立。假设t=k时,不等式成立,即有:

当t=k+1时,利用分部积分、Schwarz不等式和归纳假设,得

化简整理,有

即引理1(b)成立。

对于(c),反复运用引理1(b)及(2.4)式,得

由引理1(a)及(2.4)式,有

(2.14)

引理2:设u是问题(1.1)属于第一特征值λ1的特征函数,则

证:关于(a),由引理1(a)、(c)及(2.5)式和Schwarz不等式,可得

整理后引理2(a)成立。

对于(b),利用(1.3),引理1(a)和Schwarz不等式,有

即引理2(b)成立。

对于(c),利用(1.3),引理1(a)和引理2(a),当p≠q时,有

同样的,当p=q时,得

故,有

故引理2(c)得证。

引理3:在引力2的假设下,有

证:对于(a),利用(1.2)和Schwarz不等式,得

当p≠q时,利用引理1(a)和引理1(c),取t=s-1,有

类似地有

当p=q时,同样可得

所以,得

对于(b),利用Schwarz不等式,引理1(a)和引理1(c),类似地,有

引理4:设是问题(1.1)的第一特征值,则

证:利用分部积分和φk(x)=(xk-qk)u,得

(2.15)

利用分部积分,得到

(2.16)

(2.17)

利用(2.15)、(2.16)和(2.17),有

(2.18)

利用(2.18),引理2和引理3,得

引理5:对于φk与λ1(k=1,2,…,m),有下列不等式成立

证:利用分部积分和φk(x)=(xk-qk),得

(2.19)

利用(2.19),有

(2.20)

利用(2.20)和(2.5),有

(2.21)

利用(2.21)、(1.3)、引理1(c)和Schwartz不等式,得

由上式引理5得证。

定理的证明:由引理4、引理5及(2.13),可得

经整理即得定理。

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