数形结合思想在初中数学教学中的实例分析

何金兰

摘  要：数形结合是初中数学最重要的思想之一，它是连接数学中具体问题与抽象问题之间的纽带。它既充分体现了学生的解题思维能力，又为后续深入的高层次学习打下了基础。本文结合了本人的一些教学体会，主要从代数、几何和统计方面来分析：数转化为形，形转化为数，数形结合，在教学中如何使学生充分认识“数”和“形”之间的内在联系，把问题化繁为简，化难为易从而培养学生思维的灵活性、广阔性。

关键字：数形结合;思想;代数几何统计;思维能力

一、数与代数中的数形结合

新一轮课程改革中的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、和谐、持续的发展，它要求学生通过学习数学知识、技能和方法，逐渐形成自己的数学思想和方法，让学生学会用数学的眼光看待生活中的人和事物，学会用数学的方法解决生活中的实际问题，那么，作为最基本的数学思想之一的数形结合思想在新课程中又是怎样体现的呢？

在数与代数的教学里，我认为，应该抓住实数与树轴上的点一一对应的关系，有序实数对与坐标平面上的点的一一对应关系，从数形结合的角度出发，借助数轴处理好相反数和绝对值的意义，有理数大小的比较，有理数的分类，有理数的加法运算，不等式的解集在数轴上的表示等。教师让学生经历试验、探索的过程，体验如何用数形结合思想分析和解决，培养学生学习和应用的能力，从而激发其学习数学的原动力。

教学案例1：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解可以理解为函数y=ax2+bx+c的图象与函数值y=0，即x轴的交点的横坐标。

当方程中△>0 方程有两个不相等的实数根 y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点。

当方程中△=0 方程有两个相等的实数根 y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点。

当方程中△<0 方程无实数根 y=ax2+bx+c的图象与x轴无交点。

以上所提到的“数” “形”揭示了数形结合是数学中应遵循的规律，“数”与“形”的教学不能孤立进行，而应是交错进行，相辅相成。

例：①x2-x-6=0，△=25>0，x1=-2，x2=3，即y=x2-x-6与x轴的公共点A（-2，0），B（3，0）。

②x2-2x+1=0，△=0，x1=x2=1即y=x2-2x+1与x轴的公共点A（1，0）。

③x2+1=0，△<0，方程没有实数根即y=x2+1与x轴没有公共点。

在“数与代数”的教学中，教师应强调数与形的结合，让学生建立由数想到形，由形想到数的思想，这样可以加深学生对“数与代数”的理解和认识，如利用图形理解完全平方公式、平方差公式，利用函数图像理解函数的变化趋势等都是培养学生数形结合思想的极好的方法。

二、“空间与图形”中的数形结合

新课程中的几何内容做了较大的删改，削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。教师要把握好数学思想方法在整个教学发展中的地位，对于“数形结合”，教师要善于挖掘教材和生活中的素材，从形到数，揭示“形”中“数”的本质。

教学案例2：如图，是连接在一起的两个正方形，大正方形的边长是小正方形边长的2倍。问：若只许剪两刀应如何裁剪，使之能拼成一个新的大正方形？

对于这一问题学生往往采取实验的方法，这里裁一刀，那里试一剪，但却极少有人能在短时间内拼凑好。如果对题目认真加以分析，我们不难发现，从已知到结论，图形虽然变了，但其中却还有没变的东西——面积，若设小正方形的面积为1，则其边长就是1，这样一来，我们仅需沿着图4中边长为 的线段去考虑裁剪即可，而图中这样的线段没有几条，于是很快就能找到答案。

问题之所以能很快解决，关键是我们从问题“变”中看到了“不变”，从“形”的表面找到了“数”这一实质。一個似乎是纯几何的问题，在“数”的引导下获得了最好的解决方式，这种由表及里，形中有数的思想方法，正是数学中“数形结合”的思想方法。

三、“统计与概率”中的数形结合

新课标中的统计与概率，在内部编排和内容要求上却有所加强，真正让学生经历统计的全过程，发现并提出问题，运用适当的方法，收集和整理数据，运用合适的统计表统计图来展示数据做出决策。

教学案例3：甲口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母A和B;乙口袋中装有3个相同的小球，它们分别写有字母C，D和E;丙口袋中装有2个相同的小球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机取出1个小球.

（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？

（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？

解：根据题意，可以画出如下树状图：

综上所述，“数无形不直观，形无数难入微”，由于数形结合具有形象直观、易于接受的优点，它对于沟通知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的潜能，提高学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分张扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展都有很大帮助。

参考文献：

[1]陈大丰.数形结合思想在初中数学教学中的应用分析[J].黑河教育，2016（1）.

[2]吴世明.数形结合思想在初中数学教学中的应用与分析[J].未来英才，2017，000（006）：115.