浅析换元法在初中数学中的应用

许涛

摘要：解题训练是笔纸化应试教育背景下的最为常见的一种训练形式，也是评价学生学习效果、应用能力最直接、最便捷、最公平的形式之一。为此，在常态的教学过程中，如何提高学生的解题能力、启发学生的解题思维、促进学生的能力生长是初中数学教学实践需要重点研究的一项课题。笔者结合换元法在初中数学中的实践与研究，谈谈方法与思想渗透的达成策略。

关键词：初中数学;换元法;应用

中图分类号：G4  文献标识码：A  文章编号：（2020）-24-134

随着教育改革的不断推进，数学思想越来越受重视，有关换元法的研究和运用也取得突破性发展。在初中数学解题教学中，解答一些复杂的因式分解问题常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，如果将其中某些部分看成一个整体，用新字母代替，可以将复杂问题变得明朗化和简单化，在减少多项式的项数，降低多项式结构复杂程度等方面有积极作用。

一、换元法在因式分解中的应用

因式分解是初中数学中最重要的恒等变形之一，是学生解决数学问题的一项有力工具。在解因式分解时，需要用新元来替换式中的某个部分，从而减少因式项数，最终让复杂的因式分解变得简单。

例1：分解因式：（b+c-2a）3+（c+a-2b）3+（a+b-2c）3。

解析：如果先去掉括号，然后再进行分解，过程会相当烦琐且运算量巨大。如果我们注意到（b+c-2a）+（c+a-2b）+（a+b-2c）=0，則可通过换元法将复杂的情况转化为简单问题。

解答：设（b+c-2a）=x，（c+a-2b）=y，（a+b-2c）=z，则有：x+y+z=0，

又 x3+y3+z3-3xyz=（x+y+z）（x2+y2+z2-xy-yz- xz）， 则 有：x3+y3+z3-3xyz=0，

因此，原式= x3+y3+z3-3xyz+3xyz=3xyz=3（b+c-2a）（c+a-2b）（a+b-2c）。

如果能够掌握换元法求解参数试题，那么数字试题就能够轻松解答。

二、换元法求解分数方程和无理方程

分数方程和无理方程的难度要大于普通方程，因此需要换元法来降低方程的求解难度。

例2：解方程：2x2+1x2-7x+7x+2=0。

解析：首先，我们要将原方程进行简化，即原方程=2[（x-1x）2+2]-7（x-1x）+2=0，

设x-1x=y，则上述方程可化为：2y2-7y+6=0，解方程得y1=2，y2=32当y=2时，x-1x=2，即x=1±2，当y=32时，x-1x=32，得x=-12或x=2，再检验这些根，得这些根都是原方程的解。

例3：解方程：2x2-6x-1+3x2-3x+2=0。

解析：本题需要从题目中的根号入手，让根号内外通过增减项变得一致，然后利用换元法将二次根式进行替换，最终将无理方程转换为有理方程进行求解。

解答：原方程=2（x2-3x+2）+3x2+3x+2-5=0，

设x2+3x+2=y，则原方程化为：2y2+3y-5=0，

最终得到：y1，y2=-52，

当y=1时，x2+3x+2=1，即x2-3x+2=1， 解得x1=3+52通过检验，y=-52要舍去，因此，原方程的根为x2=3-52。x1=3+52，x2=3-52。

三、换元法求解高次方程

整式方程未知数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程。

例4：（1）已知方程（2x2+1）2-2x2-3=0，设y=2x2+1，则原方程可化为    ;

（2）仿照上述解法解方程：（x2+2x）2-3x2-6x=0。

解析：（1）设y=2x2+1，则原式左边=（2x2+1）2-（2x2+1）-2=y2-y-2，

∴原方程可化为y2-y-2=0。

（2）设x2+2x =y，则原式左边=（x2+2x）2-3（x2+2x）=y2-3y;

∴y2-3y=0，即y（y-3）=0，即y=0或3。

当y=0时，则x2+2x=0，∴x（x+2）=0，解得x=-2或0;

当y=3时，则x2+2x=3，∴x2+2x-3=0，解得x=-1或3。

故方程的解为-1，-2，0，3。

通过解题过程我们可以看到，换元法能够有效降低方程的幂次，降低试题的难度，提升学生计算的速度和效率，因此，教师在教学中应当注重传授这种数学思维，使学生能够灵活运用。

四、换元法巧解方程组

学生运用换元法求解方程组能够有效消元，简化求解过程和步骤，从而提升解题的速度和效率。

例5：解方程组：

（1）2x+y-1x-y=33x+y+4x-y=10;（2）x+y2+x-y3=7x+y3+x-y4=-1。

解析：如果正常求解这个方程组，会比较麻烦。我们可以把x+y，x-y分别看为一个整体，进行“换元”，然后再进行方程的求解，这样较为简单。

解答：（1）设1x+y=m，1x-y=n，化简上述方程组得：2m-n=33m+4n=10，

解得m=2n=1，即x+y=12x-y=1，解得x=34y=-14。

（2）设x+y=m，x-y=n，则原方程组可化为m2+n3=7m3+n4=-1，

解得m=6n=12，∴x+y=6x-y=12，

最终解得x=9，y=-3。

通过解题过程我们可以得到，利用换元法能够有效降低方程的运算难度，提升解题速度，因此教师应当指导学生总结相关技巧，提升数学思维和水平。

总之，数学教师在授课过程中应当加大训练的强度和力度，总结经典习题的解题方法，提升学生的学习兴趣和成就感，帮助他们取得理想的分数，从而进入心目中的高中进行深造学习。

参考文献

[1]高占芬.例析换元法在初中数学教学中的应用[J].基础教育课程，2016（05）.

[2]卢春松.浅析换元法在初中数学解题中的应用[J].数理化学习（初中版），2014（10）.