列一元一次方程解生活中的三类实际问题

姚胜

列方程解应用题是用数学知识解决实际问题的一个重要内容.一元一次方程可以解决生活中的很多实际问题，如商品销售问题、工程问题、方案选择问题等.在解题时，同学们首先要抓住应用题中的等量关系，列出一元一次方程，然后求解，再通过验证一元一次方程解的合理性，达到解题的目的.

一、解答商品销售问题

解答商品销售类问题，首先要弄清一些概念，如商品的进价：商店购进商品的价格;商品的售价：商店售出商品时的实际价格;利润：商店在销售商品时所赚的钱;利润率：商店在销售商品时利润占商品进价的百分比率等.其次，同学们在解题时还要弄清这些概念之间的数量关系：商品利润=商品售价-商品成本价;商品利润率=[商品利润商品成本价]×100%;商品销售额=商品销售价×商品销售量;商品的销售利润=（销售价-成本价）×销售量;打几折出售就是按原标价的百分之几十出售.掌握了销售问题中的概念和公式，同学们在解题时就能做到得心应手了.

例1 2019年元旦，某超市将甲种商品降价30%，乙种商品降价20%开展优惠促销活动.已知甲、乙两种商品的原销售单价之和为2400元，某顾客参加活动购买甲、乙各一件，共付1830元.

（1）甲、乙两种商品原销售单价各是多少元？

（2）若商场在这次促销活动中，甲种商品亏损25%，乙种商品盈利25%，那么商场是盈利还是亏损了？如果是盈利，求商场销售甲、乙两种商品各一件盈利了多少元？如果是亏损，求销售甲、乙两种商品各一件亏损了多少元？

分析：（1）设甲种商品原销售单价为x元/件，则乙种商品原销售单价为（2400-x）元/件，根据超市的优惠方案，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论;（2）设甲种商品的进价为m元/件，乙种商品的进价为n元/件，根据利润=售价-进价，即可得出关于m（n）的一元一次方程，解之即可得出m（n）的值，再根据总利润=两件商品的售价-两件商品的进价，即可得出结论.

二、解答工程进度问题

工程问题主要涉及工作总量、工作效率、工作时间三者间的关系.其基本关系式有：工作总量=工作效率×工作时间;工作效率=工作总量÷工作时间;工作时间=工作总量÷工作效率.解工程问题时，一般把工作总量看作整体“1”，工作效率用完成总量所需时间的倒数来表示.如果题目中存在变化了的工作效率，就要弄清变化前后的工作效率及其相互关系，再解题.

例2 为了打赢蓝天保卫战，共建魅力和谐长沙，长沙市环保局对湘江河流中一段长2400米的河道进行整治，整治任务由甲、乙两个工程队来完成.已知甲工程队每天完成30米，乙工程队每天完成50米.

（1）若该任务由甲、乙两个工程队合作完成，请问整治这段河道要用多少天？

（2）若甲工程队先单独整治一段时间后离开，剩下的由乙工程队来完成，两队共用时60天，求甲、乙工程队分别整治了多长的河道？

分析：（1）完成整治这段河道任务用了x天，根据“甲的工作量+乙的工作量=2400”列出方程并解答.（2）设甲工程队整治的河道长a米，则乙工程队整治的河道长为（2400-a）米，根据“工作时间=总工作量÷工作效率结合两队共用时60天”列出方程并解答.

三、解答方案选择问题

在我们的日常生活中，做一件事情通常会有很多种选择，这就需要同学们学会解答方案选择问题，也就是从几种方案中选择最优方案.如选择电话费套餐问题、团购优惠问题等.解答方案选择问题，一般先要将题目中的不同方案用方程的形式列出来，再得出不同方案的结果并进行比较，最后作出最优选择.

例3 某地宽带上网有两种收费方式，用户可以任意选择其中的一种：第一种是计时制，0.06元/分;第二种是包月制，72元/月（限一部个人住宅电话上网）.此外，每一种上网方式都得加收通讯费0.01元/分.

（1）若小明家一个月上网的时间为x小时，用含x的代数式分别表示采用两种收费方式的情况下，小明家一个月应该支付的费用;

（2）若小明估计自家一個月内上网的时间为25个小时，你认为他家采用哪种方式较为划算？

（3）小明的姑姑也准备给家里安装宽带，请为她选择一种划算的方式（直接写出方案即可）.

分析：（1）根据两种收费方式，即可用含x的代数式表示出采用计时制应付的费用及采用包月制应付的费用;（2）代入x=25，求出采用计时制应付的费用及采用包月制应付的费用，比较后即可得出结论;（3）设小明的姑姑家一个月内上网m小时，两种方式收费相同，根据（1）的结论结合两种收费方式费用相等，得出关于m的一元一次方程，解方程求出m的值，再结合（2）的结论即可求解.

综上所述，当一个月内上网时间少于20个小时时，选择计时制较划算;一个月内上网时间等于20个小时时，两种方式一样划算;一个月内上网时间多于20个小时时，选择包月制较划算.

我们在实际生活中遇到的很多问题，都需要用列方程的方法来解决.同学们要善于观察生活，关注日常生产生活中的各种问题，学会具体情况具体分析，灵活运用所学知识，列出方程解决实际问题.