有关两曲线的公切线问题的题型和解法探究

卢小妹

有关两曲线的公切线问题是解析几何中的一类经典问题.公切线是指同时与两条或两条以上曲线相切的直线.有关两曲线的公切线问题主要有两种题型：求两曲线公切线的条数和求两曲线公切线切点坐标的取值范围.教师在教学中要引导学生对该类型问题的题型和解法进行总结，来帮助学生提升解题的效率.

一、求两曲线公切线的条数

求两曲线公切线的条数是一类常见题型.解答此类问题的常规方法是，将两曲线的方程方程进行联立得到方程组，然后通过消元，将问题转化为求方程的根的个数的问题，这样求得方程的根的个数就是两曲线公切线的切点的个数，学生再结合图象，便能求出两曲线公切线的条数.

本题中两曲线的方程较为特殊，若直接将两曲线的方程联立、消元，很难求出出其切点的个数，所以需要利用导函数求出公切线的斜率，再建立等式，利用零点存在定理確定公切线的条数.解答本题的根本思路还是将求两曲线公切线的条数问题转化为求方程的根的个数的问题来求解.

二、求两曲线公切线切点坐标的取值范围

解答此类问题的常规方法是，将两曲线的方程或者公切线方程进行联立得到方程组，然后通过消元，将问题转化为求方程的根的问题，然后利用函数的单调性来确定切点坐标的取值范围.在解答此类问题时，学生需要着眼于探究所有与切点相关的关系，来确定最终的切点坐标的取值范围.

有关两曲线公切线问题的题型不仅限于以上两种，但是解答此类问题的关键是充分利用两曲线的方程，建立与公切线的切点之间的关系，然后利用函数的单调性和零点存在性定理探究消元后的方程的根.学生只要把握此关键，便能顺利突破此类问题.

（作者单位：江苏省高邮市临泽中学）