构造法在解高中数学题中的应用

宋勇

随着高中数学题目难度的升级，解题方法也在不断创新，构造法应用而生.构造法灵活利用数学表达之间的相关性，通过不同数学关系的转换，达到出奇制胜的效果.这种方法改变了传统的解题思维方式，有利于培养学生的创新思维能力，提升解题的效率.

一、构造方程

在解题时，教师要引导学生分析不同元素间的关系，把给定的条件关联起来，建立等量关系，来构造方程.这是一种被广泛使用的解题方法，能把复杂的数学问题条理化、清晰化.在构造方程时，教师首先要引导学生把握已知条件中的等量关系，回顾相关的定理、公式等，建立与所求目标之间的联系.然后，学生再要研究如何一步步将函数、不等式、集合、几何等形式转变成方程，逐步得出答案.

例1. 若a、b、c都是实数，并且a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，求证：a=b=c.

解析：根据题目中已知的等量关系式，我们可以将a2+b2+c2-ab-bc-ac=0化简为a2-（b+c）a+（b2+c2-bc）=0，构造关于a的一元二次方程.

由于方程有实数，所以∆=b2-4ac=[-（b+c）]2-4（b2+c2-bc）=-3（b-c）2≥0，

又因为b、c都是实数，所以（b-c）2≥0，

而（b-c）2≤0，所以（b-c）2=0，即b=c，

同理可得，a=b，所以a=b=c.

解答本题的关键是将上述关系式构造成关于a、b、c的一元二次方程，然后利用方程的判别式建立不等关系，从而证明结果.

二、构造图形

构造图形也是解答数学问题的一种途径.它具有直观、简明、生动的特点.尤其是解答复杂的函数、线性规划、立体几何等问题，效果十分明显.在解题时，教师要引导学生画出代数式对应的图形，挖掘其背后的几何意义，然后根据题目的条件和所求目标寻找构造图形的线索.

例2. 试求满足|x|+|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有多少个？

解析：学生对|x|+|y|≤2这一条件加以分析，就会发现一共可以分为4种情况，x、y都有可能是正数、负数，如此便可以得到四个不等式：x+y≤2（x≥0，y≥0）;x-y≤

2（x≥0，y<0）;-x+y≤2（x<0，y≥0）;-x-y≤2（x<0，y<0）.在直角坐标系中画出这四个不等式对应的区域，可以得出一个正方形，如图所示，经分析在正方形内的整数点共是13个.

三、构造函数

函数既是高中数学的重点知识，也是解答数学问题的利器.利用函数解答问题最重要的是要找好变量，确立不同变量间的关系.在构造函数时，学生要将多个变量转化为关于一个或是两个变量的函数问题，利用函数的图象和性质来解答问题.

例3. 证明sinx

解析：本題采用常规方法求证较为困难，教师可引导学生将不等式问题转化为函数问题，将不等式变形为x-sinx>0的形式，证明x-sinx>0恒成立即可.

可构造函数令f（x）=x-sinx，

而f（x）的导函数f′（x）=1-cosx>0，

所以f（x）=x-sinx是增函数，

由于f（x）>f（0）=0，所以f（x）>0，

即x-sinx>0.

在教师的指导下，学生通过构造恰当的函数，利用导数确定函数的单调性，从而证明不等式成立.

总而言之，构造法是一种灵活性较强的解题方式.教师不仅要给学生传授构造法的应用技巧，也要组织学生进行相应的练习，来提升学生运用该方法的熟练程度.

（作者单位：江苏省如皋市搬经中学）